משפט דה-מואבר, הקרוי על שמו של אברהם דה-מואבר, קובע שלכל מספר ממשי ${\displaystyle x}$ ולכל מספר שלם ${\displaystyle n}$ מתקיים:

כאשר ${\displaystyle \cos(x)}$ מייצג את הרכיב הממשי במספר המרוכב ${\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)}$, ו־${\displaystyle i\sin(x)}$ מייצג את הרכיב המדומה במספר זה.

חשיבותו של משפט דה-מואבר היא בכך שהוא מקשר בין מספרים מרוכבים וטריגונומטריה. באופן פרקטי, המשפט מאפשר להשתמש בקשר זה כדי להעלות מספרים מרוכבים בחזקה או למצוא שורש שלהם. לנוסחה יש שני שימושים עיקריים: הוצאת שורש ממספר מרוכב, והצגת גדלים טריגונומטריים ${\displaystyle \cos(nx)}$ ו-${\displaystyle \sin(nx)}$ כפולינומים ב-${\displaystyle \cos(x)}$ ו-${\displaystyle \sin(x)}$, בהתאמה. כך לדוגמה, ${\displaystyle \cos(5x)=16\cos(x)^{5}-20\cos(x)^{3}+5\cos(x)}$. ראו פולינומי צ'בישב.

את נוסחת דה-מואבר אפשר להוכיח באינדוקציה. מן הזהות ${\displaystyle \ [\cos(x)+i\sin(x)][\cos(y)+i\sin(y)]=\cos(x+y)+i\sin(x+y)}$, השקולה לזהויות הטריגונומטריות ${\displaystyle \ \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)=\cos(x+y)}$ ו-${\displaystyle \ \cos(x)\sin(y)+\sin(x)\cos(y)=\sin(x+y)}$.

אברהם דה-מואבר היה חבר טוב של אייזק ניוטון, בשנת 1698 הוא כתב שנוסחה זו הייתה ידועה לניוטון עוד ב-1676. ניתן להגיע לנוסחה זאת בקלות מנוסחת אוילר (שהתגלתה מאוחר יותר). זאת משום שלפי נוסחת אוילר, משפט דה-מואבר היא פשוט השוויון הטריוויאלי ${\displaystyle (e^{ix})^{n}=e^{i(nx)))$.

ניתן להשתמש בנוסחת דה-מואבר כדי לחשב את השורשים מסדר n של מספר מרוכב כלשהו. אם ${\displaystyle z}$ הוא מספר מרוכב שונה מאפס, ניתן לייצג אותו באופן יחיד בצורה ${\displaystyle z=A(\cos x+i\sin x)\,}$, ${\displaystyle \ 0<A}$ ו- ${\displaystyle \ 0\leq x<2\pi }$.

המספר ${\displaystyle \ \omega =B(\cos y+i\sin y)}$ (עם ${\displaystyle \ 0<B}$), הוא שורש מסדר n של z אם ${\displaystyle \ \omega ^{n}=z}$, כלומר, לפי נוסחת דה-מואבר, ${\displaystyle \ B^{n}\cdot (\cos ny+i\sin ny)=A\cdot (\cos x+i\sin x)}$. זה קורה בדיוק כאשר :

${\displaystyle \ \ B^{n}=A\,\ \cos ny+i\sin ny=\cos x+i\sin x}$

כיוון שלכל מספר חיובי קיים שורש חיובי יחיד מסדר n וכיוון שהפונקציות הטריגונומטריות מחזוריות, עם מחזור ${\displaystyle \ 2\pi }$(רדיאנים):

${\displaystyle \omega ={\sqrt[{n}]{z))={\sqrt[{n}]{A(\cos x+i\sin x)))={\sqrt[{n}]{A))\left\{\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n))\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n))\right)\right\))$

כאשר ${\displaystyle \ k=0,1,\dots ,n-1}$, ואלו בדיוק n השורשים של z.

• נוסחת אוילר
• שורשי יחידה
• פולינומי צ'בישב

• משפט דה-מואבר לזהויות הטריגונומטריות
• משפט דה מואבר, באתר MathWorld (באנגלית)