במתמטיקה, מיוֹריזציה, מג'וֹריזציה או מיוּר הוא קדם סדר חלקי בין שני וקטורים (או סדרות) של מספרים ממשיים, בו וקטור אחד "חוסם" את השני ובמובן מסוים "גדול יותר" ממנו.

בהינתן מספר טבעי ${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$ ווקטור ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{d))$, אומרים כי ${\displaystyle a}$ הוא וקטור לא-עולה אם ורק אם לכל ${\displaystyle 1\leq i\leq n-1}$ מתקיים ש-${\displaystyle a_{i}\geq a_{i+1))$.

עבור זוג וקטורים לא-עולים ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{d))$ אומרים כי ${\displaystyle a}$ ממייר את ${\displaystyle b}$ (או ${\displaystyle a}$ גובר על ${\displaystyle b}$) אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:

1. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}a_{i}=\sum _{i=1}^{d}b_{i))$
2. לכל ${\displaystyle 1\leq k\leq d-1}$ מתקיים כי ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}a_{i}\geq \sum _{i=1}^{k}b_{i))$

ומסמנים ${\displaystyle a\succeq b}$.

עבור ${\displaystyle a}$ ו-${\displaystyle b}$ כלליים (לא בהכרח לא-עולים) אומרים כי ${\displaystyle a}$ או גובר על ${\displaystyle b}$ אם ורק אם ${\displaystyle a^{\downarrow }\succeq b^{\downarrow ))$ כאשר ${\displaystyle a^{\downarrow ))$ ו-${\displaystyle b^{\downarrow ))$ הם הווקטורים הנוצרים על-ידי סידור ${\displaystyle a}$ ו-${\displaystyle b}$ בסדר לא-עולה בהתאמה.

ניתן להוכיח כי בהינתן ${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$ ו-${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{d))$, ${\displaystyle a\succeq b}$ לפי ההגדרה לעיל אם ורק אם קיימת מטריצה דו-סטוכסטית ${\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{d\times d))$ כך ש-${\displaystyle b=Da}$.^[1]

כמו כן, ${\displaystyle a\succeq b}$ אם ורק אם ניתן לייצג את ${\displaystyle b}$ כצירוף קמור של תמורות על איברי ${\displaystyle a}$. כלומר, קיימות מטריצות תמורה ${\displaystyle P_{1},\dots ,P_{k}\in \mathbb {R} ^{d\times d))$ ומקדמים ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}\in \mathbb {R} }$ כך ש-

1. ${\displaystyle c_{i}>0}$ לכל ${\displaystyle 1\leq i\leq k}$
2. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}c_{i}=1}$
3. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}c_{i}P_{i}a=b}$

משמעות ההגדרה האחרונה היא ש-${\displaystyle b}$ נמצא בתוך הפאון הרב-ממדי הקמור הנוצר מתמורות על איברי ${\displaystyle a}$.

הוכחת שקילות ההגדרה האחרונה לקודמותיה מתבצעת באמצעות משפט בירקהוף-פון נוימן.

• בהינתן שני אופרטורים הרמיטיים ${\displaystyle H}$ ו-${\displaystyle H'}$ נאמר כי ${\displaystyle H}$ גובר על ${\displaystyle H'}$ אם וקטור הערכים העצמיים של ${\displaystyle H}$ גובר על זה של ${\displaystyle H'}$.

• אי-שוויון קאמאראטה: בהינתן שתי סדרות של מספרים ממשיים אי-שליליים ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{d))$, מתקיים: ${\displaystyle a}$ גובר על ${\displaystyle b}$ אם ורק אם לכל פונקציה קמורה ${\displaystyle h:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$‏, ${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}h(a_{i})\geq \sum _{i=1}^{d}h(b_{i})}$.
• אי-שוויון מוירהד: בהינתן ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{d))$ כך ש-${\displaystyle a\succeq b}$, לכל ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{d}>0}$ מתקיים: ${\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{d)){x_{\sigma 1}^{b_{1))x_{\sigma 2}^{b_{2))\cdots x_{\sigma d}^{b_{d))}\leq \sum _{\sigma \in S_{d)){x_{\sigma 1}^{a_{1))x_{\sigma 2}^{a_{2))\cdots x_{\sigma d}^{a_{d))))$ כאשר ${\displaystyle S_{d))$ היא החבורה הסימטרית על ${\displaystyle d}$.

• מיוריזציה, באתר MathWorld (באנגלית)
• שי גירון ורן טסלר, מיוריזציה ואי שוויון קאמאראטה