Théorème de Meyers-Serrin
En analyse fonctionnelle, le théorème de Meyers (de)-Serrin concerne l'équivalence de deux définitions des espaces de Sobolev.
Définitions préalables
[modifier | modifier le code]Les notations sont celles de l'article espace de Sobolev.
Soit Ω un ouvert quelconque (non vide) de ℝn. Deux concepts qui sont souvent utilisés dans la théorie des équations aux dérivées partielles et le calcul des variations sont les espaces H et les espaces W.
Plus précisément, si m est un entier naturel, p un réel tel que 1 ≤ p < ∞ et α est un multi-indice
- Wm,p(Ω) est l'espace de Sobolev :
muni de la norme :
où Dαu est une dérivée partielle de u au sens des distributions et désigne la norme de l'espace de Lebesgue Lp(Ω).
- Hm,p(Ω) est l’adhérence dans Wm,p(Ω) de C∞(Ω) ∩ Wm,p(Ω) ou encore le complété de l'espace vectoriel normé
avec
où Dαu est une dérivée partielle de u au sens classique (u ∈ C∞(Ω)).
Énoncé
[modifier | modifier le code]Remarque
[modifier | modifier le code]Avant la publication de ce théorème, l'égalité H = W était démontrée pour des ouverts Ω particuliers (satisfaisant à certaines propriétés de régularité)[3].
Notes et références
[modifier | modifier le code]- Pour une démonstration, voir Jaques Deny et Jacques-Louis Lions, « Les espaces du type de Beppo Levi », Annales de l'Institut Fourier, vol. 5, , p. 305-370 (lire en ligne) (en) Norman G. Meyers et James Serrin, « H = W », Proc. Nat. Acad. Sci USA, vol. 51, , p. 1055-1056 (lire en ligne) ou Laurent Landry, « Les espaces de Sobolev » [PDF].
- On a le même résultat en remplaçant, dans la définition de Hm,p(Ω), C∞(Ω) par Cm(Ω) : cf. (en) Robert A. Adams et John J. F. Fournier, Sobolev Spaces, Amsterdam/Boston, Academic Press, , 2e éd. (ISBN 978-0-12-044143-3, lire en ligne), p. 67 et 61.
- Voir, par exemple, (en) Shmuel Agmon, Lectures on Elliptic Boundary Value Problems, Princeton, D. Van Nostrand, , p. 11.
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