Animation d'une somme télescopique, qui se range comme un télescope lorsque les termes s'annulent. En analyse , l'expression somme télescopique désigne informellement une somme dont les termes s'annulent de proche en proche :
(
a
1
−
a
0
)
+
(
a
2
−
a
1
)
+
.
.
.
+
(
a
n
−
a
n
−
1
)
=
a
n
−
a
0
{\displaystyle (a_{1}-a_{0})+(a_{2}-a_{1})+...+(a_{n}-a_{n-1})=a_{n}-a_{0))
La formulation vient de l'image d'un télescope que l'on replie.
Lorsqu'on effectue cette simplification, on emploie en général la phrase « l'expression se simplifie par télescopage ».
Si
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
est une suite numérique , la série télescopique correspondante est la série de terme général
a
n
+
1
−
a
n
{\displaystyle a_{n+1}-a_{n))
. La formule de télescopage s'écrit alors
∑
k
=
0
n
−
1
(
a
k
+
1
−
a
k
)
=
∑
k
=
1
n
(
a
k
−
a
k
−
1
)
=
a
n
−
a
0
.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}-a_{k}\right)=\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}-a_{k-1}\right)=a_{n}-a_{0}.}
La convergence de la série télescopique
∑
(
a
n
+
1
−
a
n
)
{\textstyle \sum (a_{n+1}-a_{n})}
équivaut donc à la convergence de la suite
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
, et
∑
n
=
0
∞
(
a
n
+
1
−
a
n
)
=
lim
a
n
−
a
0
{\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }(a_{n+1}-a_{n})=\lim a_{n}-a_{0))
On peut voir cette formule comme une version discrète de la formule d'intégration :
∫
a
b
f
′
(
x
)
d
x
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f'(x)\mathrm {d} x=f(b)-f(a)}
.
(
1
−
x
)
∑
k
=
0
n
x
k
=
(
1
−
x
)
(
1
+
x
+
x
2
+
⋯
+
x
n
)
=
(
1
−
x
)
+
(
x
−
x
2
)
+
(
x
2
−
x
3
)
+
⋯
+
(
x
n
−
x
n
+
1
)
=
1
−
x
n
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}(1-x)\sum _{k=0}^{n}x^{k}&=(1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n})\\&=(1-x)+(x-x^{2})+(x^{2}-x^{3})+\dotsb +(x^{n}-x^{n+1})\\&=1-x^{n+1}\end{aligned))}
ou, plus formellement,
(
1
−
x
)
∑
k
=
0
n
x
k
=
∑
k
=
0
n
(
x
k
−
x
k
+
1
)
=
1
−
x
n
+
1
.
{\displaystyle (1-x)\sum _{k=0}^{n}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}(x^{k}-x^{k+1})=1-x^{n+1}.}
Les formules
∑
k
=
1
n
k
×
k
!
=
(
n
+
1
)
!
−
1
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k\times k!=(n+1)!-1}
et
∑
k
=
1
n
k
(
k
+
1
)
!
=
1
−
1
(
n
+
1
)
!
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{(k+1)!))=1-{\frac {1}{(n+1)!))}
s'obtiennent par télescopage après avoir écrit
k
=
k
+
1
−
1
{\displaystyle k=k+1-1}
.
La formule concernant la suite de Fibonacci :
∑
k
=
0
n
F
k
=
F
n
+
2
−
1
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}F_{k}=F_{n+2}-1}
s'obtient en écrivant
F
k
=
F
k
+
2
−
F
k
+
1
{\displaystyle F_{k}=F_{k+2}-F_{k+1))
.
La formule de la crosse de Hockey pour les coefficients binomiaux :
∑
k
=
p
n
(
k
p
)
=
(
n
+
1
p
+
1
)
{\displaystyle \sum _{k=p}^{n}{\binom {k}{p))={\binom {n+1}{p+1))}
s'obtient par télescopage en utilisant la relation de Pascal :
(
k
p
)
=
(
k
+
1
p
+
1
)
−
(
k
p
+
1
)
{\displaystyle {\binom {k}{p))={\binom {k+1}{p+1))-{\binom {k}{p+1))}
.
La relation remarquable
1
3
+
2
3
+
.
.
.
+
n
3
=
(
1
+
2...
+
n
)
2
{\displaystyle 1^{3}+2^{3}+...+n^{3}=(1+2...+n)^{2))
peut s'obtenir par télescopage. En effet, si
a
n
=
(
0
+
1
+
2
+
.
.
.
+
n
)
2
=
n
2
(
n
+
1
)
2
4
{\displaystyle a_{n}=(0+1+2+...+n)^{2}={\frac {n^{2}(n+1)^{2)){4))}
, alors
a
k
−
a
k
−
1
=
k
2
(
k
+
1
)
2
−
k
2
(
k
−
1
)
2
4
=
k
2
4
k
4
=
k
3
.
{\displaystyle a_{k}-a_{k-1}={\frac {k^{2}(k+1)^{2}-k^{2}(k-1)^{2)){4))=k^{2}{\frac {4k}{4))=k^{3}.}
On en déduit
∑
k
=
1
n
k
3
=
∑
k
=
1
n
(
a
k
−
a
k
−
1
)
=
a
n
−
a
0
=
(
1
+
2
+
.
.
.
+
n
)
2
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k-1})=a_{n}-a_{0}=(1+2+...+n)^{2}.}
Plus généralement, les sommes des
n
{\displaystyle n}
premières puissances p -ièmes des entiers
S
n
p
=
∑
k
=
0
n
k
p
{\displaystyle S_{n}^{p}=\sum _{k=0}^{n}k^{p))
peuvent se calculer de proche en proche grâce à la formule de récurrence (Pascal 1655) :
(
p
+
1
)
S
n
p
=
(
n
+
1
)
p
+
1
−
∑
q
=
0
p
−
1
(
p
+
1
q
)
S
n
q
{\displaystyle (p+1)S_{n}^{p}=(n+1)^{p+1}-\sum _{q=0}^{p-1}{\binom {p+1}{q))S_{n}^{q))
, formule se démontrant par télescopage et à l'aide de la formule du binôme . En effet, par télescopage :
∑
k
=
0
n
(
(
k
+
1
)
p
+
1
−
k
p
+
1
)
=
(
n
+
1
)
p
+
1
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}((k+1)^{p+1}-k^{p+1})=(n+1)^{p+1))
. Et par la formule du binôme,
∑
k
=
0
n
(
(
k
+
1
)
p
+
1
−
k
p
+
1
)
=
∑
k
=
0
n
∑
q
=
0
p
(
p
+
1
q
)
k
q
=
∑
q
=
0
p
(
p
+
1
q
)
∑
k
=
0
n
k
q
=
(
p
+
1
)
S
n
p
+
∑
q
=
0
p
−
1
(
p
+
1
q
)
S
n
q
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}((k+1)^{p+1}-k^{p+1})=\sum _{k=0}^{n}\sum _{q=0}^{p}{\binom {p+1}{q))k^{q}=\sum _{q=0}^{p}{\binom {p+1}{q))\sum _{k=0}^{n}k^{q}=(p+1)S_{n}^{p}+\sum _{q=0}^{p-1}{\binom {p+1}{q))S_{n}^{q))
d'où la formule annoncée.
La décomposition en éléments simples permet parfois une réécriture sous forme télescopique ; par exemple, puisque
1
x
(
x
+
1
)
=
1
x
−
1
x
+
1
,
{\displaystyle {\frac {1}{x(x+1)))={\frac {1}{x))-{\frac {1}{x+1)),}
on a (si
−
α
∉
N
{\displaystyle -\alpha \notin \mathbb {N} }
) :
∑
k
=
0
∞
1
(
k
+
α
)
(
k
+
α
+
1
)
=
∑
k
=
0
∞
(
1
k
+
α
−
1
k
+
α
+
1
)
=
(
1
α
−
1
α
+
1
)
+
(
1
α
+
1
−
1
α
+
2
)
+
⋯
=
1
α
+
(
−
1
α
+
1
+
1
α
+
1
)
+
(
−
1
α
+
2
+
1
α
+
2
)
+
⋯
=
1
α
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+\alpha )(k+\alpha +1)))&=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+\alpha ))-{\frac {1}{k+\alpha +1))\right)\\&=\left({\frac {1}{\alpha ))-{\frac {1}{\alpha +1))\right)+\left({\frac {1}{\alpha +1))-{\frac {1}{\alpha +2))\right)+\cdots \\&={\frac {1}{\alpha ))+\left(-{\frac {1}{\alpha +1))+{\frac {1}{\alpha +1))\right)+\left(-{\frac {1}{\alpha +2))+{\frac {1}{\alpha +2))\right)+\cdots ={\frac {1}{\alpha )).\end{aligned))}
∑
k
=
1
n
sin
(
k
)
=
∑
k
=
1
n
1
2
sin
(
1
2
)
(
2
sin
(
1
2
)
sin
(
k
)
)
=
1
2
sin
(
1
2
)
∑
k
=
1
n
(
cos
(
2
k
−
1
2
)
−
cos
(
2
k
+
1
2
)
)
=
1
2
sin
(
1
2
)
(
cos
(
1
2
)
−
cos
(
2
n
+
1
2
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}\sin \left(k\right)&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2\sin \left({\frac {1}{2))\right)))\left(2\sin \left({\frac {1}{2))\right)\sin \left(k\right)\right)\\&={\frac {1}{2\sin \left({\frac {1}{2))\right)))\sum _{k=1}^{n}\left(\cos \left({\frac {2k-1}{2))\right)-\cos \left({\frac {2k+1}{2))\right)\right)\\&={\frac {1}{2\sin \left({\frac {1}{2))\right)))\left(\cos \left({\frac {1}{2))\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2))\right)\right).\end{aligned))}
Plus généralement, les expressions closes suivantes des sommes
C
n
=
∑
k
=
0
n
cos
(
k
θ
+
φ
)
{\displaystyle C_{n}=\sum _{k=0}^{n}\cos(k\theta +\varphi )}
et
S
n
=
∑
k
=
0
n
sin
(
k
θ
+
φ
)
{\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n}\sin(k\theta +\varphi )}
pour
θ
≠
0
mod
2
π
{\displaystyle \theta \neq 0\mod 2\pi }
:
C
n
=
sin
(
(
n
+
1
)
θ
2
)
sin
θ
2
cos
(
n
θ
2
+
φ
)
,
S
n
=
sin
(
(
n
+
1
)
θ
2
)
sin
θ
2
sin
(
n
θ
2
+
φ
)
{\displaystyle C_{n}={\frac {\sin \left((n+1){\frac {\theta }{2))\right)}{\sin {\frac {\theta }{2))))\cos \left(n{\frac {\theta }{2))+\varphi \right),\ S_{n}={\frac {\sin \left((n+1){\frac {\theta }{2))\right)}{\sin {\frac {\theta }{2))))\sin \left(n{\frac {\theta }{2))+\varphi \right)}
peuvent s'obtenir en multipliant par
sin
θ
2
{\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2))}
, en linéarisant, puis en télescopant.
Il convient cependant, dans le cas des séries, de ne pas négliger les questions de convergence ; on pourrait sinon en déduire, par exemple, que
1
+
1
+
1
+
⋯
=
(
2
−
1
)
+
(
3
−
2
)
+
(
4
−
3
)
+
⋯
=
−
1
+
(
2
−
2
)
+
(
3
−
3
)
+
⋯
=
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}1+1+1+\cdots &=(2-1)+(3-2)+(4-3)+\cdots \\&=-1+(2-2)+(3-3)+\cdots \\&=-1\end{aligned))}
(mais les résultats ainsi obtenus ne sont pas toujours dénués de sens ; on pourra à ce sujet consulter l'article série divergente ).
Si
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
et
(
b
n
)
{\displaystyle (b_{n})}
sont des suites , la formule de sommation par parties s'écrit :
∑
k
=
0
n
−
1
(
a
k
+
1
−
a
k
)
b
k
=
(
a
n
b
n
−
a
0
b
0
)
−
∑
k
=
0
n
−
1
a
k
+
1
(
b
k
+
1
−
b
k
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}-a_{k}\right)b_{k}=(a_{n}b_{n}-a_{0}b_{0})-\sum _{k=0}^{n-1}a_{k+1}\left(b_{k+1}-b_{k}\right)}
En effet, d'une part par télescopage,
∑
k
=
0
n
−
1
(
a
k
+
1
b
k
+
1
−
a
k
b
k
)
=
(
a
n
b
n
−
a
0
b
0
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}b_{k+1}-a_{k}b_{k}\right)=(a_{n}b_{n}-a_{0}b_{0})}
et d'autre part :
∑
k
=
0
n
−
1
(
a
k
+
1
b
k
+
1
−
a
k
b
k
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
a
k
+
1
(
b
k
+
1
−
b
k
)
+
(
a
k
+
1
−
a
k
)
b
k
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}b_{k+1}-a_{k}b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}(b_{k+1}-b_{k})+(a_{k+1}-a_{k})b_{k}\right)}
(
x
−
1
)
∑
k
=
0
n
−
1
k
x
k
=
∑
k
=
0
n
−
1
k
(
x
k
+
1
−
x
k
)
=
f
o
r
m
u
l
e
n
x
n
−
∑
k
=
0
n
−
1
x
k
+
1
=
n
x
n
−
x
n
+
1
−
x
x
−
1
{\displaystyle (x-1)\sum _{k=0}^{n-1}kx^{k}=\sum _{k=0}^{n-1}k(x^{k+1}-x^{k}){\overset {formule}{=))nx^{n}-\sum _{k=0}^{n-1}x^{k+1}=nx^{n}-{\frac {x^{n+1}-x}{x-1))}
, dont on tire :
∑
k
=
0
n
−
1
k
x
k
=
(
n
−
1
)
x
n
+
1
−
n
x
n
+
x
(
x
−
1
)
2
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}kx^{k}={\frac {(n-1)x^{n+1}-nx^{n}+x}{(x-1)^{2))))
La version multiplicative de la formule de télescopage s'écrit, pour une suite
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
jamais nulle :
∏
k
=
0
n
−
1
a
k
+
1
a
k
=
∏
k
=
1
n
a
k
a
k
−
1
=
a
n
a
0
{\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}{\frac {a_{k+1)){a_{k))}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k)){a_{k-1))}={\frac {a_{n)){a_{0))))
.La convergence du produit infini télescopique
∏
a
n
+
1
a
n
{\displaystyle \prod {\frac {a_{n+1)){a_{n))))
équivaut donc à la convergence de la suite
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
vers une limite
ℓ
≠
0
{\displaystyle \ell \neq 0}
, et
∏
n
=
0
∞
a
n
+
1
a
n
=
ℓ
a
0
.
{\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n+1)){a_{n))}={\frac {\ell }{a_{0))}.}
En remarquant que
2
cos
a
=
sin
2
a
sin
a
{\displaystyle 2\cos a={\frac {\sin 2a}{\sin a))}
, on a :
2
n
∏
k
=
0
n
−
1
cos
(
2
k
α
)
=
∏
k
=
0
n
−
1
sin
(
2
k
+
1
α
)
sin
(
2
k
α
)
=
sin
(
2
n
α
)
sin
α
{\displaystyle 2^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )=\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {\sin(2^{k+1}\alpha )}{\sin(2^{k}\alpha )))={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{\sin \alpha ))}
(généralisation de la loi de Morrie ), ce qui équivaut à
∏
k
=
1
n
cos
a
2
k
=
sin
a
2
n
sin
a
2
n
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {a}{2^{k))}={\frac {\sin a}{2^{n}\sin {\frac {a}{2^{n))))))
et donne
∏
k
=
1
∞
cos
a
2
k
=
sin
a
a
{\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }\cos {\frac {a}{2^{k))}={\frac {\sin a}{a))}
;
∏
n
=
2
N
(
1
−
1
n
2
)
=
∏
n
=
2
N
n
+
1
n
n
n
−
1
=
N
+
1
N
2
{\displaystyle \prod _{n=2}^{N}\left(1-{\frac {1}{n^{2))}\right)=\prod _{n=2}^{N}{\frac {\frac {n+1}{n)){\frac {n}{n-1))}={\frac {\frac {N+1}{N)){2))}
, d'où
∏
n
=
2
∞
(
1
−
1
n
2
)
=
1
2
{\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2))}\right)={1 \over 2))
;
∏
n
=
2
N
n
3
−
1
n
3
+
1
=
∏
n
=
2
N
n
2
+
n
+
1
n
2
+
n
n
2
−
n
+
1
n
2
−
n
=
N
2
+
N
+
1
N
2
+
N
3
/
2
{\displaystyle \prod _{n=2}^{N}{\frac {n^{3}-1}{n^{3}+1))=\prod _{n=2}^{N}{\frac {\frac {n^{2}+n+1}{n^{2}+n)){\frac {n^{2}-n+1}{n^{2}-n))}={\frac {\frac {N^{2}+N+1}{N^{2}+N)){3/2))}
, d'où
∏
n
=
2
∞
n
3
−
1
n
3
+
1
=
2
3
{\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }{\frac {n^{3}-1}{n^{3}+1))={2 \over 3))
.(en) Eric W. Weisstein , « Telescoping Sum », sur MathWorld