En analyse, l'expression somme télescopique désigne informellement une somme dont les termes s'annulent de proche en proche :

${\displaystyle (a_{1}-a_{0})+(a_{2}-a_{1})+...+(a_{n}-a_{n-1})=a_{n}-a_{0))$

La formulation vient de l'image d'un télescope que l'on replie.

Lorsqu'on effectue cette simplification, on emploie en général la phrase « l'expression se simplifie par télescopage ».

Si ${\displaystyle (a_{n})}$ est une suite numérique, la série télescopique correspondante est la série de terme général ${\displaystyle a_{n+1}-a_{n))$. La formule de télescopage s'écrit alors

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}-a_{k}\right)=\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}-a_{k-1}\right)=a_{n}-a_{0}.}$

La convergence de la série télescopique ${\textstyle \sum (a_{n+1}-a_{n})}$ équivaut donc à la convergence de la suite ${\displaystyle (a_{n})}$ , et ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }(a_{n+1}-a_{n})=\lim a_{n}-a_{0))$

On peut voir cette formule comme une version discrète de la formule d'intégration : ${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(x)\mathrm {d} x=f(b)-f(a)}$.

• L'exemple le plus connu est peut-être la formule des séries géométriques : on a

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-x)\sum _{k=0}^{n}x^{k}&=(1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n})\\&=(1-x)+(x-x^{2})+(x^{2}-x^{3})+\dotsb +(x^{n}-x^{n+1})\\&=1-x^{n+1}\end{aligned))}$ ou, plus formellement, ${\displaystyle (1-x)\sum _{k=0}^{n}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}(x^{k}-x^{k+1})=1-x^{n+1}.}$

• Les formules ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k\times k!=(n+1)!-1}$ et ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{(k+1)!))=1-{\frac {1}{(n+1)!))}$ s'obtiennent par télescopage après avoir écrit ${\displaystyle k=k+1-1}$.
• La formule concernant la suite de Fibonacci : ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}F_{k}=F_{n+2}-1}$ s'obtient en écrivant ${\displaystyle F_{k}=F_{k+2}-F_{k+1))$.
• La formule de la crosse de Hockey pour les coefficients binomiaux : ${\displaystyle \sum _{k=p}^{n}{\binom {k}{p))={\binom {n+1}{p+1))}$ s'obtient par télescopage en utilisant la relation de Pascal : ${\displaystyle {\binom {k}{p))={\binom {k+1}{p+1))-{\binom {k}{p+1))}$.
• La relation remarquable ${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+...+n^{3}=(1+2...+n)^{2))$ peut s'obtenir par télescopage.

En effet, si ${\displaystyle a_{n}=(0+1+2+...+n)^{2}={\frac {n^{2}(n+1)^{2)){4))}$, alors

${\displaystyle a_{k}-a_{k-1}={\frac {k^{2}(k+1)^{2}-k^{2}(k-1)^{2)){4))=k^{2}{\frac {4k}{4))=k^{3}.}$

On en déduit

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k-1})=a_{n}-a_{0}=(1+2+...+n)^{2}.}$

• Plus généralement, les sommes des ${\displaystyle n}$ premières puissances p-ièmes des entiers ${\displaystyle S_{n}^{p}=\sum _{k=0}^{n}k^{p))$ peuvent se calculer de proche en proche grâce à la formule de récurrence (Pascal 1655)  : ${\displaystyle (p+1)S_{n}^{p}=(n+1)^{p+1}-\sum _{q=0}^{p-1}{\binom {p+1}{q))S_{n}^{q))$, formule se démontrant par télescopage et à l'aide de la formule du binôme.
  En effet, par télescopage : ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}((k+1)^{p+1}-k^{p+1})=(n+1)^{p+1))$.
  Et par la formule du binôme, $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}((k+1)^{p+1}-k^{p+1})=\sum _{k=0}^{n}\sum _{q=0}^{p}{\binom {p+1}{q))k^{q}=\sum _{q=0}^{p}{\binom {p+1}{q))\sum _{k=0}^{n}k^{q}=(p+1)S_{n}^{p}+\sum _{q=0}^{p-1}{\binom {p+1}{q))S_{n}^{q))$$ d'où la formule annoncée.
• La décomposition en éléments simples permet parfois une réécriture sous forme télescopique ; par exemple, puisque

${\displaystyle {\frac {1}{x(x+1)))={\frac {1}{x))-{\frac {1}{x+1)),}$ on a (si ${\displaystyle -\alpha \notin \mathbb {N} }$) : ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+\alpha )(k+\alpha +1)))&=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+\alpha ))-{\frac {1}{k+\alpha +1))\right)\\&=\left({\frac {1}{\alpha ))-{\frac {1}{\alpha +1))\right)+\left({\frac {1}{\alpha +1))-{\frac {1}{\alpha +2))\right)+\cdots \\&={\frac {1}{\alpha ))+\left(-{\frac {1}{\alpha +1))+{\frac {1}{\alpha +1))\right)+\left(-{\frac {1}{\alpha +2))+{\frac {1}{\alpha +2))\right)+\cdots ={\frac {1}{\alpha )).\end{aligned))}$

• De nombreuses séries trigonométriques admettent une représentation comme différence permettant un télescopage :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}\sin \left(k\right)&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2\sin \left({\frac {1}{2))\right)))\left(2\sin \left({\frac {1}{2))\right)\sin \left(k\right)\right)\\&={\frac {1}{2\sin \left({\frac {1}{2))\right)))\sum _{k=1}^{n}\left(\cos \left({\frac {2k-1}{2))\right)-\cos \left({\frac {2k+1}{2))\right)\right)\\&={\frac {1}{2\sin \left({\frac {1}{2))\right)))\left(\cos \left({\frac {1}{2))\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2))\right)\right).\end{aligned))}$

• Plus généralement, les expressions closes suivantes des sommes ${\displaystyle C_{n}=\sum _{k=0}^{n}\cos(k\theta +\varphi )}$ et ${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n}\sin(k\theta +\varphi )}$ pour ${\displaystyle \theta \neq 0\mod 2\pi }$ :${\displaystyle C_{n}={\frac {\sin \left((n+1){\frac {\theta }{2))\right)}{\sin {\frac {\theta }{2))))\cos \left(n{\frac {\theta }{2))+\varphi \right),\ S_{n}={\frac {\sin \left((n+1){\frac {\theta }{2))\right)}{\sin {\frac {\theta }{2))))\sin \left(n{\frac {\theta }{2))+\varphi \right)}$peuvent s'obtenir en multipliant par ${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2))}$ , en linéarisant, puis en télescopant.
• Il convient cependant, dans le cas des séries, de ne pas négliger les questions de convergence ; on pourrait sinon en déduire, par exemple, que

${\displaystyle {\begin{aligned}1+1+1+\cdots &=(2-1)+(3-2)+(4-3)+\cdots \\&=-1+(2-2)+(3-3)+\cdots \\&=-1\end{aligned))}$ (mais les résultats ainsi obtenus ne sont pas toujours dénués de sens ; on pourra à ce sujet consulter l'article série divergente).

Si ${\displaystyle (a_{n})}$ et ${\displaystyle (b_{n})}$ sont des suites, la formule de sommation par parties s'écrit :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}-a_{k}\right)b_{k}=(a_{n}b_{n}-a_{0}b_{0})-\sum _{k=0}^{n-1}a_{k+1}\left(b_{k+1}-b_{k}\right)}$

En effet, d'une part par télescopage,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}b_{k+1}-a_{k}b_{k}\right)=(a_{n}b_{n}-a_{0}b_{0})}$

et d'autre part :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}b_{k+1}-a_{k}b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}(b_{k+1}-b_{k})+(a_{k+1}-a_{k})b_{k}\right)}$

${\displaystyle (x-1)\sum _{k=0}^{n-1}kx^{k}=\sum _{k=0}^{n-1}k(x^{k+1}-x^{k}){\overset {formule}{=))nx^{n}-\sum _{k=0}^{n-1}x^{k+1}=nx^{n}-{\frac {x^{n+1}-x}{x-1))}$, dont on tire :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}kx^{k}={\frac {(n-1)x^{n+1}-nx^{n}+x}{(x-1)^{2))))$

La version multiplicative de la formule de télescopage s'écrit, pour une suite ${\displaystyle (a_{n})}$ jamais nulle :

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}{\frac {a_{k+1)){a_{k))}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k)){a_{k-1))}={\frac {a_{n)){a_{0))))$.

La convergence du produit infini télescopique ${\displaystyle \prod {\frac {a_{n+1)){a_{n))))$ équivaut donc à la convergence de la suite ${\displaystyle (a_{n})}$ vers une limite ${\displaystyle \ell \neq 0}$, et ${\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n+1)){a_{n))}={\frac {\ell }{a_{0))}.}$

• En remarquant que ${\displaystyle 2\cos a={\frac {\sin 2a}{\sin a))}$, on a :

  ${\displaystyle 2^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )=\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {\sin(2^{k+1}\alpha )}{\sin(2^{k}\alpha )))={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{\sin \alpha ))}$ (généralisation de la loi de Morrie), ce qui équivaut à ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {a}{2^{k))}={\frac {\sin a}{2^{n}\sin {\frac {a}{2^{n))))))$ et donne ${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }\cos {\frac {a}{2^{k))}={\frac {\sin a}{a))}$ ;

• ${\displaystyle \prod _{n=2}^{N}\left(1-{\frac {1}{n^{2))}\right)=\prod _{n=2}^{N}{\frac {\frac {n+1}{n)){\frac {n}{n-1))}={\frac {\frac {N+1}{N)){2))}$, d'où ${\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2))}\right)={1 \over 2))$ ;
• ${\displaystyle \prod _{n=2}^{N}{\frac {n^{3}-1}{n^{3}+1))=\prod _{n=2}^{N}{\frac {\frac {n^{2}+n+1}{n^{2}+n)){\frac {n^{2}-n+1}{n^{2}-n))}={\frac {\frac {N^{2}+N+1}{N^{2}+N)){3/2))}$, d'où ${\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }{\frac {n^{3}-1}{n^{3}+1))={2 \over 3))$.

(en) Eric W. Weisstein, « Telescoping Sum », sur MathWorld

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