Noyau de Fejér

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Définition

Le noyau de Fejér est la suite $(F n) n \inℕ*$ de fonctions analytiques dont le terme de rang n, appelé noyau de Fejér d'ordre n, est la moyenne arithmétique des n premiers noyaux de Dirichlet :

\forall x\in \mathbb {R} \quad F_{n}(x)={\frac {1}{n))\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)

.

En développant la définition ci-dessus, les deux expressions classiques du noyau de Dirichlet donnent respectivement :

${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n))\left({\frac {\sin {\frac {nx}{2))}{\sin {\frac {x}{2))))\right)^{2))$ si $x\notin 2\pi \mathbb {Z}$ (donc, par continuité, $F n (x) = n$ si $x$ est un multiple entier de $2π$ ) ;
${\displaystyle F_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}\left(1-{\frac {|k|}{n))\right)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kx))$ .

Démonstration

Si $x\notin 2\pi \mathbb {Z}$ alors $D_{k}(x)={\frac {\sin \left({\frac {x}{2))+kx\right)}{\sin {\frac {x}{2))))={\frac {\cos kx-\cos(k+1)x}{2\sin ^{2}{\frac {x}{2))))$ donc
$F_{n}(x)={\frac {1}{n))\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {\cos kx-\cos(k+1)x}{2\sin ^{2}{\frac {x}{2))))={\frac {1-\cos nx}{2n\sin ^{2}{\frac {x}{2))))={\frac {\sin ^{2}{\frac {nx}{2))}{n\sin ^{2}{\frac {x}{2))))$ .
${\displaystyle D_{k}(x)=\sum _{p=-k}^{k}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} px))$ donc
${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n))\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{p=-k}^{k}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} px}={\frac {1}{n))\sum _{p=-n}^{n}\sum _{k=|p|}^{n-1}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} px}={\frac {1}{n))\sum _{p=-n}^{n}(n-|p|)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} px}=\sum _{p=-n}^{n}\left(1-{\frac {|p|}{n))\right)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} px))$ .

On obtient la somme de Fejér d'ordre n d'une fonction f (intégrable sur $[-π, π]$ et $2π$ -périodique) en effectuant un produit de convolution de f par le noyau de Dirichlet.

Le noyau de Fejér est un noyau de sommabilité positif sur $\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$ , c'est-à-dire que :

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad F_{n}\geq 0$ ;
$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad {\frac {1}{2\pi ))\int _{-\pi }^{\pi }F_{n}(x)\,\mathrm {d} x=1$ ;
$\forall \varepsilon >0\quad \lim _{n\to \infty }\int _{\pi \geq |x|>\varepsilon }|F_{n}(x)|\,\mathrm {d} x=0$ .

La suite $(F n)$ est donc une approximation de l'unité de l'algèbre de Banach $\mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} )$ (munie de produit de convolution).

Le noyau de Fejér est lié au noyau de Dirichlet par les relations suivantes^[2] :
- $\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\ D_{n}(x)=(n+1)F_{n+1}(x)-nF_{n}(x)$
- $\forall n\in \mathbb {N} ,\ F_{n+1}(x)={\frac {1}{n+1))\sum _{k=0}^{n}D_{k}(x)$

↑ (de) Leopold Fejér, « Untersuchungen über Fouriersche Reihen », Mathematische Annalen,‎ 1904 (lire en ligne)
↑ (en) Josée Lopez-Bonilla, Sergio Vidal Beltran et Jesus Yalja Montiel, « A Note on Dirichlet and Fejér kernels », Revista de Matemática: Teoría y Aplicaciones, vol. 14, n^o 1,‎ 26 mars 2007, p. 101–104 (ISSN 1409-2433, lire en ligne)

Catégorie