Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

En mathématiques et plus précisément en théorie de la mesure, étant donnés deux espaces mesurés ${\displaystyle (\Omega _{1},{\mathcal {S))_{1},\mu _{1})}$ et ${\displaystyle (\Omega _{2},{\mathcal {S))_{2},\mu _{2}),}$ on définit une mesure produit μ₁×μ₂ sur l'espace mesurable ${\displaystyle (\Omega _{1}\times \Omega _{2},{\mathcal {S))_{1}\times {\mathcal {S))_{2})}$.

La tribu produit ${\displaystyle {\mathcal {S))_{1}\times {\mathcal {S))_{2))$ est la tribu sur le produit cartésien ${\displaystyle \Omega _{1}\times \Omega _{2))$ engendrée par les parties de la forme ${\displaystyle A_{1}\times A_{2))$, où ${\displaystyle A_{1))$ appartient à ${\displaystyle {\mathcal {S))_{1))$ et ${\displaystyle A_{2))$ à ${\displaystyle {\mathcal {S))_{2))$ :

${\displaystyle {\mathcal {S))_{1}\times {\mathcal {S))_{2}\ =\ \sigma \left(\left\{A_{1}\times A_{2}\ |\ A_{1}\in {\mathcal {S))_{1},\ A_{2}\in {\mathcal {S))_{2}\right\}\right).}$

Une mesure produit μ₁×μ₂ est une mesure sur ${\displaystyle (\Omega _{1}\times \Omega _{2},{\mathcal {S))_{1}\times {\mathcal {S))_{2})}$ telle que :

${\displaystyle \forall A_{1}\in {\mathcal {S))_{1},~\forall A_{2}\in {\mathcal {S))_{2}\qquad (\mu _{1}\times \mu _{2})(A_{1}\times A_{2})=\mu _{1}(A_{1})\mu _{2}(A_{2}).}$

D'après le théorème d'extension de Carathéodory, une telle mesure μ₁×μ₂ existe, et si μ₁ et μ₂ sont σ-finies alors elle est unique.

En fait, lorsque μ₁ et μ₂ sont σ-finies, pour chaque ensemble mesurable E,

${\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(E)=\int _{\Omega _{2))\mu _{1}(E^{y})~\mathrm {d} \mu _{2}(y)=\int _{\Omega _{1))\mu _{2}(E_{x})~\mathrm {d} \mu _{1}(x),}$

avec E_x = {y∈Ω₂|(x,y)∊E} et E^y = {x∈Ω₁|(x,y)∊E}, qui sont tous deux des ensembles mesurables.

La mesure de Borel-Lebesgue sur l'espace euclidien ℝⁿ peut être obtenue comme le produit de n copies de celle sur la droite réelle ℝ.

Même lorsque μ₁ et μ₂ sont complètes, μ₁×μ₂ ne l'est pas nécessairement. Par exemple, pour obtenir la mesure de Lebesgue sur ℝ², il faut compléter le produit des deux copies de la mesure de Lebesgue sur ℝ.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Product measure » (voir la liste des auteurs).
• (en) Michael E. Taylor (en), Measure Theory and Integration, AMS, 2006
• (en) Michel Loève, Probability Theory, vol. I, New York/Heidelberg/Berlin, Springer, 1977, 4^e éd., 425 p. (ISBN 0-387-90210-4), chap. 8.2 (« Product measures and iterated integrals »), p. 135-137
• (en) Paul Halmos, Measure theory, New York/Heidelberg/Berlin, Springer, 1974, 304 p. (ISBN 0-387-90088-8), chap. 35 (« Product measures »), p. 143-145

• Théorème de désintégration (en)
• Théorème de Fubini

• Portail de l'analyse