La méthode de Jacobi, due au mathématicien allemand Karl Jacobi, est une méthode itérative de résolution d'un système matriciel de la forme Ax = b. Pour cela, on utilise une suite x^(k) qui converge vers un point fixe x, solution du système d'équations linéaires.

On cherche à construire^[1], pour x⁽⁰⁾ donné, la suite x^{(k + 1)} = F(x^(k)) avec ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$.

A=M–N où M est une matrice inversible.

${\displaystyle {\begin{matrix}Ax=b\Leftrightarrow Mx=Nx+b\Leftrightarrow &x&=&M^{-1}Nx+M^{-1}b\\&&=&F(x)\end{matrix))}$

où F est une fonction affine. La matrice B = M^–1N est alors appelée matrice de Jacobi.

Cependant, l'algorithme qui suit n'est valable que si la matrice A est à diagonale strictement dominante sur les lignes (si la matrice M est diagonale, sinon se référer à la section convergence).

${\displaystyle \left\((\begin{array}{l}x^{(0)}\;{\mbox{connu))\\x^{(k+1)}=Bx^{(k)}+M^{-1}b\end{array))\right.}$

Si x est solution de Ax=b alors il vérifie

${\displaystyle x=Bx+M^{-1}b}$ .

Soit e^(k) le vecteur erreur

${\displaystyle e^{(k+1)}=x^{(k+2)}-x^{(k+1)}=B(x^{(k+1)}-x^{(k)})=Be^{(k)))$

ce qui donne

${\displaystyle e^{(k+1)}=Be^{(k)}=B^{k+1}e^{(0)))$.

L'algorithme converge si ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|e^{(k)}\|=0\Longleftrightarrow \lim _{k\to \infty }\|B^{k}\|=0}$ (c-à-d. B^k tend vers la matrice nulle).

On décompose la matrice A de la façon suivante : A=D – E – F avec D la matrice diagonale de A, –E la matrice triangulaire inférieure de A de diagonale nulle et –F la matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle. Dans la méthode de Jacobi, on choisit M=D et N=E+F (dans la méthode de Gauss-Seidel^[1], M=D – E et N=F).

${\displaystyle x^{(k+1)}=D^{-1}(E+F)x^{(k)}+D^{-1}b}$

${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}=\cdots x_{i}^{(k)}+{\frac {b_{i)){a_{ii))))$ avec

pour la ligne i de D^–1(E+F) : ${\displaystyle -\left({\frac {a_{i,1)){a_{i,i))},\cdots ,{\frac {a_{i,i-1)){a_{i,i))},0,{\frac {a_{i,i+1)){a_{i,i))},\cdots ,{\frac {a_{i,n)){a_{i,i))}\right)}$

${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}=-{\frac {1}{a_{ii))}\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}a_{ij}x_{j}^{(k)}+{\frac {b_{i)){a_{ii))))$

Soit ${\displaystyle r^{(k)}=De^{(k)))$ le vecteur résidu. On peut écrire ${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}={\frac {r_{i}^{(k))){a_{i,i))}+x_{i}^{(k)))$ avec r^(k)
_i que l'on calcule de la manière suivante :

${\displaystyle r_{l}^{(k+1)}=-\sum _{j=1 \atop j\neq l}^{n}a_{l,j}{\frac {r_{j}^{(k))){a_{l,l))))$.

Pour le test d'arrêt, on utilise l'erreur relative sur le vecteur résidu, ce qui donne, pour une précision donnée ε :

${\displaystyle {\frac {\|r^{(k)}\|}{\|b\|))<\varepsilon }$

Cette méthode a un coût de l'ordre de 3n²+2n par itération. Elle converge moins vite que la méthode de Gauss-Seidel, mais est très facilement parallélisable.

En 1932, l'ingénieur américain Hardy Cross a publié un article^[3] décrivant une méthode itérative de calcul des efforts dans les charpentes, qu'il appela « méthode de redistribution des moments », et qui est essentiellement une application de la méthode de Jacobi aux matrices de raideur de la résistance des matériaux. Par son interprétation mécanique intuitive, elle exerça une profonde influence à l'époque où se construisaient les gratte-ciels^[4],[5]. Au mois de novembre 1936, Cross étendit son application à la résolution des réseaux d'adduction d'eau et des circuits électriques^[6]. L'avènement des calculateurs électroniques a relégué cette technique au rang de curiosité académique, de même que la méthode de relaxation de Southwell, qui en est une généralisation ; elle conserve néanmoins un intérêt didactique pour l'étude de la statique.

• Méthode de Cholesky
• Méthode de Gauss-Seidel
• Décomposition LU
• Décomposition QR

• (fr) Méthode de Jacobi

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