Lemme de Hadamard
Le lemme de Hadamard est un résultat de calcul différentiel très utile pour trouver des modèles locaux de fonctions différentiables. Il est utilisé par exemple dans la preuve du lemme de Morse.
Énoncé
[modifier | modifier le code]Soit une fonction de classe avec . Alors pour tout , il existe des fonctions , de classe telles que pour tout ,
Démonstration
[modifier | modifier le code]On a (second théorème fondamental de l'analyse).
Mais (théorème de dérivation des fonctions composées).
Le résultat s'ensuit, avec qui est en raison du théorème de dérivation sous le signe somme (règle de Leibniz).
Remarques
[modifier | modifier le code]- On a nécessairement .
- Les fonctions ne sont pas uniques.
Applications
[modifier | modifier le code]Par application du lemme, on peut justifier que pour toute fonction lisse f telle que f(0) = 0, la fonction qui à x associe f(x)x est lisse et bien définie. Par exemple, le sinus cardinal est bien défini.
Voir aussi
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