L'inégalité triangulaire dit que la somme des longueurs de deux côtés d'un triangle est supérieure ou égale à la longueur du troisième côté. L'inégalité de Kantorovitch donne un résultat équivalent avec les termes et notations de la programmation linéaire.
Inégalité de Kantorovitch (version scalaire) — Soit pour i = 1,...,n.
Soient Alors
Inégalité de Kantorovitch (version matricielle) — Soit , une matrice symétrique définie positive. Soit , respectivement la valeur propre la plus petite et la plus grande de A.
Alors, pour tout vecteur :
Démonstration de la version matricielle
On supposera, sans perte de généralité, que la norme de x vaut 1.
Sachant que , il existe une matrice orthogonale telle que est diagonale :
avec
, où les sont les valeurs propres de A.
On pose . Les valeurs propres de la matrice 1⁄tA + tA−1 sont donc de la forme :
L'inégalité de Kantorovitch est utilisée en analyse de convergence ; elle permet notamment de majorer la vitesse de convergence de la méthode de descente de Cauchy.
Des équivalents de l'inégalité de Kantorovitch existent dans différents domaines. On citera l'inégalité de Wielandt et l'inégalité de Cauchy-Schwarz, elles-mêmes équivalentes à l'inégalité de Hölder.
↑(en) J. B. Diaz et F. T. Metcalf, « Complementary inequalities I: Inequalities complementary to Cauchy's inequality for sums of real numbers », Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 9, no 1, , p. 59-74
↑(ru) L. V. Kantorovič, Functional Analysis and Applied Mathematics, Uspekhi Mat. Nauk 3, , p. 89-185
This browser is not supported by Wikiwand :( Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience. Please download and use one of the following browsers:
Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.
X
Get ready for Wikiwand 2.0 🎉! the new version arrives on September 1st! Don't want to wait?
Oh no, there's been an error
Please help us solve this error by emailing us at support@wikiwand.com
Let us know what you've done that caused this error, what browser you're using, and whether you have any special extensions/add-ons installed.
Thank you!