Développement en série de Engel
En mathématiques, le développement en série de Engel d'un nombre réel strictement positif , moins connu que son développement en fraction continue mais étroitement lié[1], est son expression sous la forme :
où les forment une suite croissante d'entiers naturels non nuls. Il y a unicité de la suite .
Son appellation honore Friedrich Engel, qui l'a étudié en 1913[2] ; on l'utilise en théorie des nombres[3] et en théorie des probabilités[4].
Écriture condensée
[modifier | modifier le code]On utilisera dans cet article la notation [1].
De plus, lorsque x appartient à , on a toujours . On écrira donc plus simplement un réel non entier de cet intervalle sous la forme où est la partie entière de ; on a alors .
Par exemple, le nombre π, situé entre 3 et 4, s'écrit [5].
Premiers exemples
[modifier | modifier le code]- Un développement par une suite constante correspond à une série géométrique : (pour tout entier ).
- Celui du nombre e correspond au développement obtenu à partir de la série entière de l'exponentielle : ; donc .
- Plus généralement, .
- Le nombre [6], somme des inverses des primorielles, est le nombre pour lequel la suite est la suite croissante de nombres premiers.
Expression des sommes partielles
[modifier | modifier le code]La somme partielle peut s'écrire après factorisations sous les formes équivalentes suivantes :
, fraction continue ascendante,
à comparer avec le développement en fraction continue descendante classique : ;
cette expression montre que peut se calculer à partir de avec divisions et additions (les additions consistant juste à ajouter 1).
Le nombre s'écrit alors .
Construction du développement
[modifier | modifier le code]La suite s'obtient par l'algorithme suivant, dû à Henry Briggs :
De sorte que .
On obtient par exemple :
La liste des développements de Engel publiés dans l'OEIS se trouve ici.
Théorème — Le réel x est rationnel si et seulement si la suite est constante à partir d'un certain rang.
Ceci permet de prouver l’irrationalité de nombres dont on connait un développement du type comme e, , , , , , [4].
Variante différenciant les rationnels des irrationnels
[modifier | modifier le code]- Le réel positif s'écrit aussi de manière unique sous la forme :
- ,
- où les forment une suite finie ou infinie croissante (au sens large) d'entiers strictement positifs, mais où l'on s'interdit une suite infinie constante à partir d'un certain rang.
- De plus, ces entiers s'obtiennent en utilisant cette fois la fonction partie entière supérieure :
- en convenant que si un est nul, la suite d'entiers s'arrête à .
- Le réel est alors irrationnel si et seulement si la suite des est infinie, et dans ce cas (par unicité) les deux constructions coïncident.
- Lorsque est rationnel, la suite finie et la suite infinie stationnaire coïncident jusqu'au rang , et pour tout , .
Par exemple : (à comparer avec le développement de π ci-dessus).
Notons que cet algorithme fournit, pour tout rationnel strictement compris entre 0 et 1, un développement en somme de fractions égyptiennes de dénominateurs distincts. Cette écriture avait été vue par Fibonacci dans son Liber abaci (1202).
Formule de Stratemeyer
[modifier | modifier le code]Cette formule donne le développement de Engel des nombres quadratiques de la forme : où est un entier ;
la suite étant définie par et , on a : [1].
Par exemple, , voir la suite A003010 de l'OEIS.
Notes et références
[modifier | modifier le code]- Pierre Liardet et Pierre Stambul, « Séries de Engel et fractions continuées », Journal de théorie des nombres de Bordeaux, t. 12, no 1, , p. 37-68 (lire en ligne).
- (de) F. Engel, « Entwicklung der Zahlen nach Stammbruechen », dans Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg, , p. 190-191 ; traduction en anglais : http://oeis.org/A006784/a006784.pdf.
- (en) Daniel Duverney, Number Theory : An Elementary Introduction Through Diophantine Problems, World Scientific, coll. « Monographs in Number Theory » (no 4), , 335 p. (ISBN 978-981-4307-46-8, lire en ligne), p. 14-15 (ou : Théorie des nombres, Dunod, 2007).
- Daniel Duverney, « Développement d'un nombre en série de Engel », Revue de Mathématiques Spéciales, (lire en ligne).
- Voir la suite A006784 de l'OEIS.
- Voir la suite A064648 de l'OEIS.
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Articles connexes
[modifier | modifier le code]Liens externes
[modifier | modifier le code]- (en) Eric W. Weisstein, « Engel Expansion », sur MathWorld
- (en) Peter J. Grabner et Arnold Knopfmacher, « Arithmetic and metric properties of p-adic Engel series expansions », Publ. Math. Debrecen, vol. 63, no 3, , p. 363-377 (lire en ligne)
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