Équivalent
En analyse mathématique, l'équivalence relie deux fonctions ou deux suites qui ont le même comportement au voisinage d'un point ou de l'infini.
Par exemple, avec , alors quand tend vers l'infini, le terme devient insignifiant devant le terme ; on écrit alors , et on dit que est équivalente à en .
Cette notion intervient dans le calcul des développements asymptotiques, dont les développements limités sont des cas particuliers. Elle est très utile dans la détermination de limites.
Pour les suites
[modifier | modifier le code]Définitions
[modifier | modifier le code]Soient et deux suites à valeurs réelles ou complexes.
On dit que est équivalente à , et on note (ou s’il n’y a pas d’ambiguité sur la variable d’indice) si la suite est négligeable devant la suite .
En utilisant la notation de Landau « petit o », ceci s'écrit : , et se traduit par l'existence d'une suite qui tend vers zéro et vérifie à partir d'un certain rang[N 1].
Exemples
[modifier | modifier le code]- Un équivalent de la somme partielle d'ordre de la série harmonique est :
- Un équivalent de la factorielle de est donné par la formule de Stirling :
- Pour la suite dont le -ième terme est égal au nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à , le théorème des nombres premiers établit que :
- Pour le nombre de façon de décomposer en une somme d'entiers naturels non nul sans considérer l'ordre des termes, alors :
- Une suite est équivalente à la suite nulle si et seulement si elle est nulle à partir d'un certain rang[4],[N 2].
Propriétés
[modifier | modifier le code]- Dans le cas où la suite ne s'annule pas à partir d'un certain rang, alors :
Cette propriété est la plus simple à mettre en place pour montrer l'équivalence.
- Si deux suites sont équivalentes, alors elles ont la même limite, mais la réciproque est fausse ;
- La relation est une relation d'équivalence sur les suites réelles ou complexes ;
- Une suite possède toujours un équivalent : par exemple elle-même, et cet équivalent n'est pas unique : il en existe une infinité.
Pour les fonctions
[modifier | modifier le code]Définition
[modifier | modifier le code]Soient et deux fonctions définies sur une partie de à valeurs dans ou , et soit un point adhérent à ( peut être un réel, ou ).
On dit que est équivalente à en , et on note [N 3] s'il existe une fonction définie sur un voisinage de telle que :
- ;
Exemples
[modifier | modifier le code]- Un équivalent en d'une fonction polynomiale est son monôme de plus haut degré ;
Propriétés
[modifier | modifier le code]- Si est non nulle au voisinage de , alors :
Cette propriété est la plus simple à mettre en place pour montrer l'équivalence.
- Si est une constante non nulle :
- Si , alors est nulle sur un voisinage de ;
- La relation est une relation d'équivalence sur les fonctions réelles ou complexes ;
- Si et sont équivalentes en alors :
- Elles sont de même signe « localement autour de », c'est-à-dire sur un voisinage de ;
- Elles admettent la même limite en ou bien elles n'admettent pas de limite.
- Les opérations de multiplication par une autre fonction ou un scalaire, d'inversion, de division sont compatibles avec la relation . Cependant, l'addition et la composition d'équivalents sont généralement fausses (voir opérations sur les équivalents).
Remarques
[modifier | modifier le code]- On peut généraliser cette définition en considérant des fonctions :
- définies sur une partie d'un espace topologique autre que ;
- à valeurs dans un espace vectoriel normé sur , ou même dans un espace vectoriel topologique sur avec un corps valué autre que ou .
- La notion d'équivalence de suites est un cas particulier de celle d'équivalence de fonctions.
Notes et références
[modifier | modifier le code]Notes
[modifier | modifier le code]- Cet assouplissement « à partir d'un certain rang », oublié dans certains manuels[1],[2],[3], est pourtant indispensable pour que la relation ne dépende que du comportement asymptotique des suites que l'on compare, et non pas de l'éventuelle nullité de certains termes initiaux. Par exemple, la suite est équivalente à , bien que le terme ne soit pas un multiple de .
- Cependant, la plupart des auteurs mettent en garde contre la notation . Certains la proscrivent même avec virulence, au mieux ne s'autorisant à comparer que des suites non nulles à partir d'un certain rang[5], au pire proclamant que la seule suite équivalente à la suite nulle est elle-même[3].
- Ou simplement lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur le point que l'on considère.
Références
[modifier | modifier le code]- O. Ferrier, Analyse pour l'économie et la gestion, De Boeck Supérieur, (lire en ligne), p. 355.
- G. Godinaud et J.-J. Ruch, Fondamentaux d'analyse pour l'entrée dans le supérieur : Cours et exercices, Ellipses, (lire en ligne), p. 165.
- H. Gras, C. Lebœuf et X. Merlin, Mathématiques approfondies - ECG 1re et 2e années, Ellipses, (lire en ligne), p. 207 : selon la définition de ces auteurs, pour que , il faut qu'il existe une suite telle que pour tout indice n.
- S. Pellerin, Mathématiques BCPST-1, Ellipses, (lire en ligne), p. 87.
- M. Gorny et A. Sihrener, ECG 1 - Mathématiques approfondies, Informatique : Tout-en-un, Dunod, (lire en ligne), p. 602.
Voir aussi
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