Équation de Korteweg–de Vries
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En physique mathématique, l'équation de Korteweg–de Vries (KdV en abrégé) est un modèle mathématique pour les vagues en faible profondeur. C'est un exemple très connu d'équation aux dérivées partielles non linéaire dont on connait exactement les solutions. Ces solutions comprennent (mais ne se limitent pas à) des solitons. Ces solutions peuvent se calculer par la transformation de diffusion inverse (même principe que la résolution de l'équation de la chaleur). C'est un exemple d'équation aux dérivées partielles dispersive.
L'équation porte le nom de Diederik Korteweg et Gustav de Vries qui l'ont étudiée[1], bien que l'équation ait été traitée par Joseph Boussinesq auparavant[2].
Définition
[modifier | modifier le code]C'est une équation aux dérivées partielles non linéaire et dispersive pour une fonction φ de deux variables réelles, x et t :
où ∂x et ∂t représentent les dérivées partielles par rapport à x et t.
Application
[modifier | modifier le code]Une vague scélérate est une vague océanique très haute, modélisable comme solution particulière d’équations non linéaires, telles que l’équation de l’onde de Boussinesq ou l’équation de Korteweg–de Vries.
Variantes
[modifier | modifier le code]Il existe de nombreuses variantes à l'équation d'onde KdV. En particulier, on peut lister les équations suivantes.
Nom | Équation |
---|---|
Korteweg–de Vries (KdV) | |
KdV (cylindrique) | |
KdV (déformée) | |
KdV (généralisée) | |
Équation de Korteweg–de Vries généralisée (en) | |
Équation de Korteweg–de Vries (7e ordre de Lax) | |
Équation modifiée de Korteweg–de Vries | |
KdV (modifiée modifiée) | |
KdV (sphérique) | |
Super équation de Korteweg–de Vries | ,
|
KdV (de transition) | |
KdV (à coefficients variables) | |
Équation de Korteweg–de Vries–Burgers |
Références
[modifier | modifier le code]- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Korteweg–de Vries equation » (voir la liste des auteurs).
- D. J. Korteweg et G. de Vries, « On the Change of Form of Long Waves Advancing in a Rectangular Canal, and on a New Type of Long Stationary Waves », Philosophical Magazine, vol. 39, , p. 422–443
- J. Boussinesq, « Essai sur la théorie des eaux courantes », Mémoires présentés par divers savants à l’Académie des Sciences de l'Institut de France, XXIII, , p. 1–680 (présentation en ligne, lire en ligne)
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