Suure pienenee tai vähenee eksponentiaalisesti, jos sen arvo pienenee nopeudella, joka on suoraan verrannollinen suureen senhetkiseen arvoon.^[1] Eksponentiaalisesti vähenevä suure N toteuttaa siis hajoamislaiksi kutsutun differentiaaliyhtälön:

${\displaystyle {\frac {dN}{dt))=-\lambda N,}$

missä λ on positiivinen luku. Tätä verrannollisuuskerrointa kutsutaan myös hajoamisvakioksi.

Eksponentiaalinen väheneminen on luonnon ilmiöissä yleinen vähenemistahti. Yhtälöä kutsutaankin hajoamislaiksi muun muassa siksi, että sillä on yhteys radio­aktiiviseen hajoamiseen ja kemiallisiin hajoamisreaktioihin.^[2]

Differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista muokkaamalla se ensin muotoon

${\displaystyle {\frac {dN}{N))=-\lambda dt}$

ja integroimalla yhtälön molemmat puolet. Integrointirajat vasemmalla puolella ovat N₀ eli N:n arvo hetkellä t=0 ja N_t eli arvo hetkellä t. Vastaavasti oikealla puolella integrointi tehdään välillä 0 ... t.

${\displaystyle \int _{N_{0))^{N_{t)){\frac {dN}{N))=-\lambda \int _{0}^{t}dt}$

${\displaystyle ln{\frac {N_{t)){N_{0))}=-\lambda t}$

josta saadaan lopulta ratkaistua N_t:

${\displaystyle N_{t}=N_{0}\cdot e^{-\lambda t))$

Edellä olevaa yhtälöä kutsutaan hajoamislain integraalimuodoksi.

Intuitiivisesti ymmärrettävä suure hajoamisen nopeudelle on puoliintumisaika.^[3][4] Puoliintumisaika on se aika, jossa suure N pienenee puoleen alkuperäisestä arvostaan. Puoliintumisaika T voidaan helposti johtaa hajoamislain integraalimuodosta asettamalla ${\displaystyle N_{t}={\frac {N_{0)){2))}$, eli ajanhetkellä t=T on N:n alkuperäinen arvo laskenut puoleen alkuperäisestä. Tällöin saadaan puoliintumisajan arvoksi

${\displaystyle T={\frac {\ln 2}{\lambda ))}$

Hajoamislaki saa tämän kaavan avulla helpon muodon (sijoittamalla ${\displaystyle \lambda =\ln 2/T}$ hajoamislain integraalimuotoon):

${\displaystyle N_{t}=N_{0}\cdot e^{-{\frac {\ln 2}{T))t}=N_{0}\cdot 2^{-{\frac {t}{T))))$

Tästä yhtälöstä nähdään, että ensimmäisen puoliintumisajan lopussa (${\displaystyle t=T}$) suure on pienentynyt puoleen alkuperäisestä arvostaan, kahden puoliintumisajan kuluttua (${\displaystyle t=2T}$) neljäsosaan jne.

Toinen, matemaattisesti yksinkertaisempi mutta intuitiivisesti vaikeammin ymmärrettävä hajoamisnopeutta kuvaava suure on keskimääräinen elinaika ${\displaystyle \tau }$. Keskimääräinen elinaika on se aika, jossa suure pienenee 1/e:een osaan alkuperäisestä. Vastaavalla tavalla kuin puoliintumisajan yhteydessä, saadaan keskimääräisen elinajan lausekkeeksi:

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda ))}$

Esimerkiksi radioaktiivisessa hajoamisessa keskimääräinen elinaika kuvaa keskimääräistä aikaa, jonka ydin ehtii olla alun perin N₀ ydintä sisältäneessä joukossa ennen hajoamistaan. Johto keskimääräiselle elinajalle on esitetty englanninkielisessä artikkelissa.

Esimerkiksi polonium-210:n keskimääräinen elinaika on 200 vuorokautta, mutta puoliintumisaika vain 138 vuorokautta.

Jos hajoaminen tapahtuu useamman rinnakkaisen prosessin kautta ja kullakin on oma keskimääräinen elinaikansa, ollaan yleensä kiinnostuneita vain kokonaisuudessaan hajoamisen keskimääräisestä elinajasta. Kokonaishajoamisnopeudelle voidaan kirjoittaa yhtälö:

${\displaystyle -{\frac {dN_{t)){dt))=N\lambda _{1}+N\lambda _{2}=(\lambda _{1}+\lambda _{2})N\,}$

Ratkaisu saadaan, kun kirjoitetaan hajoamisvakioiden summa uutena hajoamisvakiona eli asettamalla ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}=\lambda _{c))$. Tällöin ${\displaystyle {\frac {dN_{t)){dt))=-\lambda _{c}N}$

Nyt saadaan yhtälö

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c))}={\frac {1}{\tau _{1))}+{\frac {1}{\tau _{2))}\,}$, josta ratkaisemalla saadaan

${\displaystyle \tau _{c}={\frac {\tau _{1}\cdot \tau _{2)){\tau _{1}+\tau _{2))))$

Tämä voidaan yleistää koskemaan n kappaletta prosesseja muodossa

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c))}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\tau _{i))))$

• Radioaktiivisessa hajoamisessa hajoavan aineen ytimien lukumäärä pienenee eksponentiaalisesti. Esimerkiksi luonnon pitkäikäisin uraani-isotooppi uraani-238 hajoaa 4,5 miljardin vuoden puoliintumisajalla. Radioaktiivisessa hajoamisessa on kysymyksessä peräkkäin tapahtuvista 1. kertaluvun reaktioista.

• Kinetiikan alkeisreaktioissa lähtöaineiden konsentraatiot noudattavat eksponentiaalista hajoamista.
• Korkealla ilmakehässä, ilmanpaine vähenee eksponentiaalisesti korkeuden funktiona.^[5]

• Alkeisreaktio
• Eksponenttifunktio
• Eksponentiaalinen kasvu

• A stochastic simulation of exponential decay
• Tutorial on time constants (Arkistoitu – Internet Archive)

1. ↑ ^{a b} Analysis - Ordinary Diff. Eqns, Solutions, Theory | Britannica www.britannica.com. Viitattu 27.5.2024. (englanniksi)
2. ↑ Radioactivity | Definition, Types, Applications, & Facts | Britannica www.britannica.com. 9.5.2024. Viitattu 27.5.2024. (englanniksi)
3. ↑ Definition of HALF-LIFE www.merriam-webster.com. 25.5.2024. Viitattu 27.5.2024. (englanniksi)
4. ↑ Half-life | Definition & Facts | Britannica www.britannica.com. Viitattu 27.5.2024. (englanniksi)
5. ↑ Atmospheric pressure | Definition, Measurement, & Variations | Britannica www.britannica.com. Viitattu 27.5.2024. (englanniksi)