روش‌های رونگه‐کوتا

این مقاله به هیچ منبع و مرجعی استناد نمی‌کند. لطفاً با افزودن یادکرد به منابع قابل اعتماد برطبق اصول تأییدپذیری و شیوه‌نامهٔ ارجاع به منابع، به بهبود این مقاله کمک کنید. مطالب بدون منبع را می‌توان به چالش کشید و حذف کرد.یافتن منابع: "روش‌های رونگه‐کوتا" – اخبار · روزنامه‌ها · کتاب‌ها · آکادمیک · جی‌استور (چگونگی و زمان حذف پیام این الگو را بدانید)

به دسته‌ای از مهم‌ترین روشهای حل عددی معادلات دیفرانسیل عادی گفته می‌شود که توسط دو دانشمند آلمانی، رونگه و کوتا ابداع شده است. این روش شامل روش مرتبه اول (اویلر)، روش اویلر اصلاح شده یا هیون (Heun) که به روش پیشگو نیز معروف است، نقطه میانی، مرتبه دوم، رالستون، مرتبه سوم و مرتبه چهارم می باشد. همانطور که در ادامه خواهیم دید، سایر روشهای حل معادلات دیفرانسیل معمولی مانند اویلر، هیون و نقط میانی، حالات خاصی از روش رانگ-کوتا به ویژه از مرتبه دوم هستند. یکی از پرکاربردترین این روش‌ها رانگ−کوتای مرتبه چهارم می‌باشد.

فرمول کلی روش رانگ-کوتا

معادله دیفرانسیل معمولی زیر را با شرط اولیه داده شده را در نظر بگیرید.

{\displaystyle y'=f(x,y),\quad y(x_{0})=y_{0))

فرمول کلی روش رانگ-کوتا به صورت زیر است.

y_{i+1}=y_{i}+\phi (x_{i},y_{i},h)h

{\displaystyle \phi =a_{1}k_{1}+a_{2}k_{2}+...a_{n}k_{n))

که مقادیر a مقادیر ثابت و مقادیر kها به صورت زیر هستند و h مقدار گام است.

k_{1}=f(x_{i},y_{i})

k_{2}=f(x_{i}+p_{1}h,y_{i}+q_{11}k_{1}h)

k_{3}=f(x_{i}+p_{2}h,y_{i}+q_{21}k_{1}h+q_{22}k_{2}h)

.

.

.

k_{n}=f(x_{i}+p_{n-1}h,y_{i}+q_((n-1},1}h+q_((n-1},2}k_{2}h+...+q_((n-1},{n-1))k_{n-1}h)

که در آن ضرایب p و q ضرایب ثابت هستند. لازم به ذکر است که این معادلات، روابط بازگشتی هستند یعنی در محاسبه هر k، از k قبلی استفاده می شود.

رانگ-کوتای مرتبه اول (روش اویلر)

در روش رانگ-کوتای مرتبه اول از تقریب دوجمله ای بسط تیلور استفاده می شود.

{\displaystyle y'=f(x,y),\quad y(x_{0})=y_{0))

y_{i+1}=y_{i}+{h}f(x_{i},y_{i})

خطای تخمین روش اویلر نیز از رابطه زیر محاسبه می شود.

E_{a}={f'(x_{i},y_{i}) \over 2!}h^{2}=O(h^{2})

در فرمول کلی رانگ-کوتا به ازای $a_{1}=1$ فرمول روش اویلر حاصل می شود.

رانگ-کوتای مرتبه دوم

در این روش به ازای ${\displaystyle a_{1}=1-a_{2},p_{1}=q_{11}={1 \over {2a_{2))))$ و هر مقدار ${\displaystyle a_{2))$ دلخواه در فرمول کلی، حاصل می شود. لازم به ذکر است که این روش به خاطر دلخواه بودن مقدار ${\displaystyle a_{2))$ بی شمار فرمول برای این روش وجود دارد. در ادامه خواهیم دید که با انتخاب مقادیر خاصی برای ${\displaystyle a_{2))$ ، معادلات روشهای دیگر به دست می آید.

رانگ−کوتا( اویلر) اصلاح شده (هیون)

در این روش ابتدا یک مقدار برای $y$ پیشگویی (حدس زده) می شود و سپس در معادله اصلاح گر (Corrector) قرار داده می شود و مقدار آن اصلاح می شود.

y_{i+1}^{0}=y_{i}+{h}f(x_{i},y_{i})

y'_{i+1}=f(x_{i+1},y_{i+1}^{0})

معادله بالا، معادله پیشگو (Predictor) نامیده می شود.

سپس میانگین شیب جدید و شیب اولیه در معادله اویلر قرار داده می شود.

y_{i+1}=y_{i}+((f(x_{i},y_{i})+f(x_{i+1},y_{i+1}^{0})} \over 2}h

معادله بالا، معادله اصلاح گر (Corrector) نامیده می شود.

این روش همان روش انتگرال گیری عددی ذوزنقه ای است که در آن:

{\displaystyle h=x_{i+1}-x_{i))

خطای این روش نیز دقیقا همان خطای روش ذوزنقه ای است.

{\displaystyle E_{t}=-{f''(\xi ) \over 12}h^{3))

در فرمول کلی به ازای ${\displaystyle a_{1}=a_{2}={1 \over 2))$ و $p_{1}=q_{11}=1$ فرمول روش هیون حاصل می شود. می توان در روش رانگ-کوتای مرتبه دوم نیز تنها ${\displaystyle a_{2}={1 \over 2))$ را قرار داد.

روش نقطه میانی

این روش مشابه همان روش اویلر است با این تفاوت که به جای مقدار گام، به اندازه نصف گام محاسبه می شود.

k_{1}=f(x_{i},y_{i})

k_{2}=f(x_{i}+{1 \over 2}h,y_{i}+{1 \over 2}k_{1}h)

y_{i+1}=y_{i}+k_{2}h

در فرمول کلی، به ازای ${\displaystyle a_{1}=0,a_{2}=1,p_{1}=q_{11}={1 \over 2))$ فرمول روش نقطه میانی حاصل می شود. می توان در روش رانگ-کوتای مرتبه دوم نیز تنها $a_{2}=1$ را قرار داد.

روش رالستون

در فرمول کلی به ازای ${\displaystyle a_{1}={1 \over 3},a_{2}={2 \over 3},p_{1}=q_{11}={3 \over 4))$ فرمول روش رالستون حاصل می شود. این روش نیز از روش های رانگ-کوتای مرتیه دوم است که معادله آن به صورت زیر است.

k_{1}=f(x_{i},y_{i})

k_{2}=f(x_{i}+{3 \over 4}h,y_{i}+{3 \over 4}k_{1}h)

y_{i+1}=y_{i}+(((1 \over 3}k_{1}+{2 \over 3}k_{2)))h

رانگ-کوتای مرتبه سوم

این روش بسیار کم کاربردتر از مرتبه چهارم می باشد. فرمول این روش به صورت زیر است.

k_{1}=f(x_{i},y_{i})

k_{2}=f(x_{i}+{1 \over 2}h,y_{i}+{1 \over 2}k_{1}h)

k_{3}=f(x_{i}+h,y_{i}-k_{1}h+2k_{2}h)

y_{i+1}=y_{i}+{1 \over 6}({k_{1}+4k_{2}+k_{3)))h

رانگ-کوتای مرتبه چهارم

برای بدست آوردن مقدار تابع y در یک واحد زمان جلوتر از رابطه زیر استفاده می‌شود.

y_{i+1}=y_{i}+{h \over 6}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4})

که در آن:

{\begin{aligned}k_{1}&=f\left(x_{i},y_{i}\right)\\k_{2}&=f\left(x_{i}+{h \over 2},y_{i}+{h \over 2}k_{1}\right)\\k_{3}&=f\left(x_{i}+{h \over 2},y_{i}+{h \over 2}k_{2}\right)\\k_{4}&=f\left(x_{i}+h,y_{i}+hk_{3}\right)\\\end{aligned))

رانگ-کوتای مرتبه چهار متعلق به خانواده رانگ-کوتاهای صریح می باشد.

حل معادلات دیفرانسیل درجات بالاتر به روش رانگ-کوتا

برای حل معادلات درجه بالاتر به روش رانگ-کوتا از دستگاه معادلات استفاده می کنیم به این ترتیب که هر مرتبه از معادله را به صورت یک متغیر جدید تعریف کرده و به این صورت، با کاهش هر مرتبه، یک معادله دیفرانسیل درجه اول به صورت مفروض در روش رانگ-کوتا تعریف می شود. سپس دستگاه معادلات درجه اول را به روش رانگ-کوتا می توان حل نمود.

p_{n+1}y^{(n)}+p_{n}y^{(n-1)}+...p_{3}y''+p_{2}y'+p_{1}y+p_{0}=0

{\displaystyle e_{1}:y'=z_{1))

{\displaystyle e_{2}:z'_{1}=z_{2))

{\displaystyle e_{3}:z'_{2}=z_{3))

.

.

{\displaystyle e_{n}:z'_{n-1}=z_{n))

حل یک نمونه معادله دیفرانسیل به روش رانگ-کوتای مرتبه چهارم

مثال: معادله دیفرانسیل زیر را به روش مرسوم رانگ-کوتای مرتبه چهارم حل می کنیم.

y'=((5x^{2}-y} \over {e^{x+y))},y(0)=1

k_{1}=hf(x,y)=0.1((5(0)^{2}-1} \over {e^{0+1))}=-0.03678794411

k_{2}=h{f(x+{h \over 2},y+{k_{1} \over 2})}=-0.03454223937

k_{3}=h{f(x+{h \over 2},y+{k_{2} \over 2})}=-0.03454345267

k_{4}=h{f(x+h,y+k_{3})}=-0.03154393258

y(x+h)=y(x)+{1 \over 6}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4})

=1+{1 \over 6}(-0.03678794411+2(-0.03454223937)+2(-0.03454345267)-0.03154393258)=0.9655827899

با تکرار روش بالا سایر مقادیر تابع نیز به ازای سایر xها به دست می آید.

روش رانگ-کوتای تطبیقی

این روش برای افزایش دقت محاسبات استفاده می شود. در این روش ابتدا با استفاده از روش رانگ-کوتا یک بار با گام $h$ و یک بار با گام $h \over 2$ مقدار $y$ محاسبه شده و سپس به جای ${\displaystyle y_{2))$ مقدار ${\displaystyle y_{2}+{\Delta \over 15))$ را جایگذاری می کنیم که در آن: ${\displaystyle \Delta =y_{2}^{old}-y_{1))$ و سپس مقدار خطای تخمین را با آن جمع می کنیم. به این صورت دقت محاسبات افزایش می یابد.

منابع

1- Press et al. 2007, p. 907

2-Steven Chapra, Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers and Scientists, 7th Edition, McGraw-Hill Science Engineering, 2017

رده‌ها

روش‌های رونگه‐کوتا

فرمول کلی روش رانگ-کوتا

رانگ-کوتای مرتبه اول (روش اویلر)

رانگ-کوتای مرتبه دوم

رانگ−کوتا( اویلر) اصلاح شده (هیون)

روش نقطه میانی

روش رالستون

رانگ-کوتای مرتبه سوم

رانگ-کوتای مرتبه چهارم

حل معادلات دیفرانسیل درجات بالاتر به روش رانگ-کوتا

حل یک نمونه معادله دیفرانسیل به روش رانگ-کوتای مرتبه چهارم

روش رانگ-کوتای تطبیقی

منابع

Suggest as cover photo

Thank you for helping!

Install Wikiwand

Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:

Your preferred languages

All languages

Follow Us

Don't forget to rate us

Our magic isn't perfect

Thank you for helping!

Oh no, there's been an error

معادلات دیفرانسیل

حوزه کاربرد علوم طبیعی و مهندسی اخترشناسی فیزیک شیمی زیست‌شناسی زمین‌شناسی ریاضیات کاربردی مکانیک محیط‌های پیوسته نظریه آشوب سیستم‌های دینامیکی علوم اجتماعی علم اقتصاد دینامیک جمعیت
طبقه‌بندی
نوع عملگرها عملگر دیفرانسیلی نمادگذاری‌های مشتق معادلات دیفرانسیل معمولی معادلات دیفرانسیل تاخیری معادله دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای دیفرانسیلی-جبری انتگرو-دیفرانسیلی حساب کسری خطی غیرخطی
ویژگی‌های متغیرها متغیر وابسته و مستقل معادله دیفرانسیل همگن معادلات دیفرانسیل معمولی جفتیده غیرجفتیده مرتبه درجه اتونوموس معادله دیفرانسیل کامل معادله دیفرانسیل مختلط
رابطه با فرآیندها تفاضل (مشابه گسسته) معادله دیفرانسیل تصادفی تاخیر
پاسخ‌ها
عناوین پاسخ‌ها قضیه پیکارد لیندلوف (وجود و یکتایی) رونسکین Phase portrait فضای فاز پایداری لیاپونوف پایداری مجانبی پایداری نمایی آهنگ همگرایی پاسخ‌های به فرم سری پاسخ‌های انتگرالی انتگرال‌گیری عددی تابع دلتای دیراک
روش‌های حل وارسی جداسازی متغیرها روش ضرایب نامعین فاکتور انتگرال‌گیری تبدیل انتگرالی روش اویلر روش اجزاء محدود روش تفاضل محدود روش حجم محدود کرنک نیکلسون روش‌های رونگه‐کوتا روش گالرکین نظریه اختلال
ریاضی‌دان‌ها آیزاک نیوتن لئونارد اویلر چارلز امیل پیکارد جوزف ماریا هوئن-رونسکی ارنست لیندلف رودولق لیپشیتز آگوستین لویی کوشی جان کرنک فیلیس نیکولسون کارل دیوید تولم رونگ مارتین ولهلم کوتا
ن ب و