El teorema de Lindemann–Weierstrass es un resultado muy útil para establecer la trascendencia de un número. Afirma que si α₁, α₂, ...,α_n son números algebraicos linealmente independientes sobre el cuerpo de los números racionales ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, entonces ${\displaystyle e^{\alpha _{1)),e^{\alpha _{2))\ldots ,e^{\alpha _{n))}$ son algebraicamente independientes sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$; es decir, el grado de trascendencia de la extensión del cuerpo ${\displaystyle \mathbb {Q} (e^{\alpha _{1)),\ldots ,e^{\alpha _{n)))}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ es n.

Lindemann demostró en 1882 que e^α es trascendente para todo α algebraico no nulo, y de este modo estableció que π es transcendente. Weierstrass demostró la forma más general de este teorema en 1885.

El teorema anterior junto con el Teorema de Gelfond-Schneider, está generalizado por la conjetura de Schanuel.

La trascendencia de e y π se obtiene como corolario de este teorema.

Supongamos que α es un número algebraico no nulo; entonces {α} es un conjunto linealmente independiente sobre los racionales y por lo tanto {e^α} es un conjunto algebraicamente independiente; en otras palabras, e^α es trascendente. En particular, e¹ = e es trascendente.

Probemos ahora que π es trascendente. Si π fuese algebraico, 2πi también lo sería (porque 2i es algebraico), y por tanto, según el teorema de Lindemann-Weierstrass e^2πi = 1 es trascendente. Pero sabemos que 1 es racional y por tanto π es necesariamente trascendente.

• Demostración de que e es irracional

• Demostración del teorema de Lindemann-Weierstrass (en inglés)

1. Alan Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1975, ISBN 0-521-39791-X. Chapter 1, Theorem 1.4.
2. F. Lindemann, Über die Zahl π, Mathematische Annalen, vol. 20 (1882), pp. 213-225.