Teorema de Knaster-Tarski
El teorema de Knaster-Tarski, que lleva los nombres de Bronisław Knaster y Alfred Tarski, es un teorema matemático del área de la teoría de retículos.
Enunciado
[editar]Sean un retículo completo, una función monótona y el conjunto de los puntos fijos de en . Entonces y es también un retículo completo.
Esbozo de demostración
[editar]Sean y las operaciones de supremo e ínfimo de , respectivamente.
Los siguientes pasos muestran que para subconjuntos arbitrarios de , arroja un ínfimo y un supremo en .
- es punto fijo de , siendo además mayor que cualquier otro en . Por tanto se trata del supremo de .
- Dualmente al paso 1: es punto fijo de , siendo además menor que cualquier otro en .
- Para subconjuntos arbitrarios , se requiere que exista un supremo . Los casos y ya se consideraron en los pasos 1 y 2. Ahora se consideran los demás casos. Para ello se aprovecha el que con es a su vez un retículo completo y que es una función monótona , que de acuerdo al paso 2 tiene en al menor de sus puntos fijos. Este es el supremo de . En símbolos: .
- Dualmente al paso 3 se muestra que para subconjuntos arbitrarios de existe un ínfimo .
Corolarios
[editar]Un corolario frecuentemente utilizado es el de la existencia de los puntos fijos ínfimo y supremo para funciones monótonas con respecto a .
Referencias
[editar]- Alfred Tarski (1955). «A lattice-theoretical fixpoint theorem and its applications». Pacific Journal of Mathematics. 5:2: 285-309.
- Garrett Birkhoff, 1967. Lattice Theory, 3rd ed. Vol. 25 of AMS Colloquium Publications. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1025-5
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