En matemáticas, un subgrupo normal o subgrupo distinguido
de un grupo
es un subgrupo invariante por conjugación; es decir, para cada elemento
y cada
, el elemento
está en
. Se denota
.
Definiciones equivalentes
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Demostración
|
1. 2.
Como , entonces . Por tanto, .
2. 3.
Es claro.
3. 4.
Sea . Entonces, . Por tanto, y se tiene la igualdad.
4. 1.
Sea y .
.
Además, se tiene que .
Por tanto, .
|
y
son siempre subgrupos normales de
. Si éstos son los únicos subgrupos normales de
, se dice que
es simple.
- Los subgrupos normales de cualquier grupo
forman un retículo bajo inclusión. Los elementos mínimo y máximo son
y
, el ínfimo de dos subgrupos es su intersección y su supremo es su yuxtapuesto.
- Todos los subgrupos de un grupo abeliano son normales.
- Si
es de índice 2 (
) entonces
es normal en
.
- El centro de un grupo es normal en el grupo.
Sea
un grupo y
. Como los conjuntos de clases laterales por la izquierda y por la derecha coinciden lo llamaremos simplemente conjunto de clases laterales de
en
, y lo denotaremos
.
Podemos definir en
la operación
(esta operación está bien definida, ya que su definición no depende de los representantes elegidos en las clases a multiplicar).
- La proyección canónica
es un homomorfismo de grupos.
Grupos normales y homomorfismos
[editar]- Sean
y
grupos y sea
un homomorfismo de grupos. Entonces el núcleo de
es normal en
:
. De hecho, un subgrupo
es normal si y sólo si existe un homomorfismo de grupos
tal que
.