Enunciado
Caso real
Si las funciones son diferenciables en todo su dominio podemos escribir de una forma más general
. Bajo esta misma condición, utilizando la notación de Leibniz si denotamos como
tenemos que la regla de la cadena puede escribirse como
donde
indica que
depende de
como si
fuera una variable. Para una mejor lectura es común hacer
y obtenemos:
.
Si queremos componer muchas funciones podemos hacer lo siguiente: dadas
funciones
y la función compuesta
, si cada función
es diferenciable entonces la función compuesta también es diferenciable (por la regla de la cadena repetida varias veces) y su derivada es (en la notación de Leibniz)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {df_{1)){dx))&={\frac {df_{1)){df_{2))}\cdot {\frac {df_{2)){df_{3))}\cdot \cdots \cdot {\frac {df_{n)){dx))\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fafadc5791c8efc61070756d64f7be62a2ec7ef)
Caso general
Teorema
Sean E, F dos espacios vectoriales normados y G un espacio vectorial topológico separable. Sean U un abierto de E, V un abierto de F, g una aplicación de U en V, f una aplicación de V en G, y a un punto de U. Si g es diferenciable en el punto a y f diferenciable en el punto g(a) entonces f∘g es diferenciable en el punto a, y
.
|
En particular si
,
y
, la matriz jacobiana de
en el punto
es el producto de aquella de
en el punto
por la de
en el punto
, podemos escribir esto en la forma siguiente
:![{\displaystyle {\frac {\partial h_{i)){\partial x_{j))}(a)=\sum _{k=1}^{m}{\frac {\partial f_{i)){\partial y_{k))}(g(a)){\frac {\partial g_{k)){\partial x_{j))}(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eded273bd4c0edd145a2479eeb88436fc4c27fa3)
para todo
e
.
Demostración
Caso Real
Denotemos
. Dado que
es diferenciable en
, desde la definición de la derivada, existe una función
tal que
.
En particular (utilizando que
es continua en
puesto que ella es diferenciable en ese punto):
.
La tasa de variación en el punto
de la función
se expresa entonces bajo la forma:
![{\displaystyle {\frac {g(f(x))-g(f(a))}{x-a))=u(f(x))\cdot {\frac {f(x)-f(a)}{x-a))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4162e1195ba52556843fdfb34f3f1a5906ccf30)
Y cuando
tiende hacia
(para valores distintos de
), esta expresión tiende hacia
.
Observación
Existe una demostración de este teorema, aparentemente más simple que utiliza la astucia
,
pero esta demostración es errónea porque ella supone que
para todo
suficientemente cerca de
, lo cual no tiene ninguna razón de ser. Por ejemplo, una función constante. También podemos considerar el caso de la función
dada por
![{\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}x^{2}\sin \left({\frac {1}{x))\right),&{\text{ si ))x\neq 0\\0,&{\text{ si ))x=0\end{cases))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b88729187635c9038417f32776a54aed0161f24)
en donde podemos notar que
para todo
.
Caso General
Denotemos
y
. Entonces:
y
son lineales y continuas, en particular:
y
(con la notación O de Landau),
,
.
En consecuencia:
es lineal y continua,
,
y
.
Observación
- En este enunciado y su demostración, no es necesario que
sea un espacio vectorial normado: es suficiente que sea un espacio vectorial topológico separable.
Ejemplos
Regla del cociente
La regla de la cadena puede ser utilizada para obtener algunas fórmulas para derivar, por ejemplo, la regla del cociente es una consecuencia de la regla de la cadena y la regla del producto; para esto, consideremos las funciones
con
para todo
, escribimos entonces el cociente
como el producto
, utilizando primero la regla del producto:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx))\left({\frac {f(x)}{g(x)))\right)&={\frac {d}{dx))\left(f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)))\right)\\&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)))+f(x)\cdot {\frac {d}{dx))\left({\frac {1}{g(x)))\right)\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02141e7c778a7a54cb13c586e57d9d5e9fa9ec64)
para todo
. Para calcular la derivada de la función
notemos que puede escribirse como la composición de
con la función recíproco
, cuya derivada es
, aplicando la regla de la cadena la expresión anterior queda como
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx))\left({\frac {f(x)}{g(x)))\right)&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)))+f(x)\cdot \left(-{\frac {1}{g(x)^{2))}\cdot g'(x)\right)\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2))}\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b877272474783c140c9f1d73337752b711d423b9)
para todo
, que es la fórmula de la regla del cociente.
Derivada de funciones inversas
Considere la función diferenciable e invertible
con
intervalos abiertos con inversa diferenciable
. Existe una fórmula para la derivada de
en términos de la derivada de
, para esto, note que
y
satisfacen la ecuación
![{\displaystyle f(g(x))=x\quad {\text{ para todo ))\quad x\in I,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/519e9dbd470985acbe61fd53b438d0344f7c0edf)
en donde derivando ambas expresiones obtenemos
![{\displaystyle f'(g(x))g'(x)=1\quad {\text{ para todo ))x\in I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf34836d33f524db82e0c2f68c4dc767e33d6ba5)
Para expresar
como una función de una variable independiente
, escribimos
y resolvemos para
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'(g(f(y)))g'(f(y))&=1\\f'(y)g'(f(y))&=1\\f'(y)&={\frac {1}{g'(f(y))))\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ab446c1054cba1b4b9eda29dc58cece45a0a675)
para todo
.
Observación
Es importante tener en mente las condiciones de diferenciabilidad de ambas funciones
y
en sus respectivos dominios, la invertibilidad y diferenciabilidad de una función no implica que esta última condición sea satisfecha por su inversa (conocido es el caso de la función
la cual es diferenciable e invertible pero su inversa no es diferenciable en
).
Ejemplo
Por ejemplo, considere la función
, esta tiene función inversa
, como
entonces por la fórmula anterior
![{\displaystyle {\frac {d}{dy))\ln y={\frac {1}{e^{\ln y))}={\frac {1}{y))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec9e557417af2118a71de5310a125556f1678cbe)
Ejemplo conceptual
Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora. La razón a la cual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.
Este cálculo es una aplicación típica de la regla de la cadena.
Ejemplo algebraico
Sean las funciones
y
dadas por
![{\displaystyle {\begin{aligned}y(u)&=\ln(u)\\u(x)&=\cos(x)\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57a630be47f7ce13aa3523ae8c87fd410b9cae1f)
y deseamos calcular
.
Por un lado tenemos:
![{\displaystyle {\frac {dy}{du))={\frac {1}{u))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c694957532fc7f3c766a707fcb6d5449b9d32175)
y
![{\displaystyle {\frac {du}{dx))=-\operatorname {sen}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b93d784730996b599fb39eaed637bcb831e345b5)
como
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx))={\frac {dy}{du))\cdot {\frac {du}{dx))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/955d845cb30bede7b50f3b9bef5e07e613e4373f)
entonces
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx))&={\frac {1}{u))\cdot (-\operatorname {sen} x)\\&=-{\frac {\operatorname {sen} x}{u))\\&=-{\frac {\operatorname {sen} x}{\cos x))\\&=-\tan {x}\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd9bc02ccf488193cfa567c6ccc27b8c1cc319e8)
y esto es para todo
tal que
, es decir, para todo
.