Medida (matemáticas)
En matemáticas, el concepto de medida es la generalización y formalización de las medidas geométricas y otras nociones como la probabilidad de los sucesos aleatorios. La medida es un concepto fundamental en teoría de la medida y teoría de la probabilidad.
Definición
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La terna se denomina espacio de medida.
Ejemplos
- Medida contadora: la terna es un espacio de medida, donde:
- .
- donde denota el número de elementos de .
- Medida de Dirac: fijado un elemento la terna es un espacio de medida, donde:
- .
- Medida de Lebesgue: definida en , (donde es la -álgebra de Lebesgue), es la única medida invariante por traslaciones que extiende la noción de longitud de los intervalos en .
Propiedades
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Medida exterior
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Toda medida definida en es medida exterior, pero el recíproco no es cierto.
El interés de las medidas exteriores recae en que son fáciles de construir y en que se puede aplicar el teorema de Carathéodory para construir medidas a partir de ellas:
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Además, si , entonces (y naturalmente ), lo que implica que es un espacio de medida completo.
Véase también
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