En matemáticas, el grupo simétrico sobre un conjunto ${\displaystyle X}$, denotado por ${\displaystyle S_{X},{\mathfrak {S))_{X},\Sigma _{X},X!}$ o ${\displaystyle \operatorname {Sym} (X)}$, es el grupo formado por las aplicaciones biyectivas de ${\displaystyle X}$ en sí mismo, bajo la operación de composición de funciones.^[1]​

Cuando ${\displaystyle X=\{1,2,\dots ,n\))$ es un conjunto finito, el grupo ${\displaystyle S_{X))$ se denomina grupo de permutaciones de ${\displaystyle n}$ elementos, y se denota por ${\displaystyle S_{n},{\mathfrak {S))_{n},\Sigma _{n))$ o ${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$. El orden de este grupo es n!, y no es abeliano para ${\displaystyle n\geq 3}$.

El teorema de Cayley afirma que todo grupo ${\displaystyle G}$ es isomorfo a un subgrupo de su grupo simétrico ${\displaystyle S_{G))$. En el caso particular de que ${\displaystyle G}$ sea finito de orden ${\displaystyle n}$, entonces ${\displaystyle G}$ es isomorfo a un subgrupo de ${\displaystyle S_{n))$.^[2]​

Composición de permutaciones

Hay diversas formas de representar una permutación. Podemos escribir una permutación σ en forma de matriz, situando en primera fila los elementos del dominio 1, 2, 3..., y en la segunda las imágenes correspondientes σ(1), σ(2), σ(3),....

Dada dos permutaciones, su composición se realiza siguiendo las reglas usuales de composición de funciones:

Si

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\3&2&4&6&5&1\\\end{pmatrix))}$

y

${\displaystyle \tau ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\4&1&2&5&3&6\\\end{pmatrix))}$

su composición es: ${\displaystyle \tau \circ \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\2&1&5&6&3&4\\\end{pmatrix))}$

El cálculo de la composición puede seguirse de un modo visual, recordando que al componer funciones se opera de derecha a izquierda:

Presentación del grupo de permutaciones de n elementos

Generadores

Recordemos que una trasposición es una permutación que intercambia dos elementos y fija los restantes. Toda permutación se descompone como producto de trasposiciones. De este modo, el conjunto de las trasposiciones forma un sistema generador de ${\displaystyle S_{n))$. Pero es posible reducir aún más este sistema restringiéndonos a las trasposiciones de la forma ${\displaystyle \tau _{i}=(i,i+1)}$. En efecto, para i<j podemos descomponer cualquier trasposición en la forma:

${\displaystyle (i,j)=(i,i+1)(i+1,i+2)\dots (j-2,j-1)(j-1,j)(j-2,j-1)\dots (i+1,i+2)(i,i+1)}$

Relaciones elementales

Estos generadores permiten definir una presentación del grupo simétrico, junto con las relaciones:

• ${\displaystyle {\tau _{i))^{2}=1\,}$,
• ${\displaystyle \tau _{i}\tau _{j}=\tau _{j}\tau _{i}\qquad {\mbox{si ))|j-i|>1\,}$,
• ${\displaystyle {(\tau _{i}\tau _{i+1)))^{3}=1.\,}$.

Otros generadores

Es posible igualmente usar como sistema de generadores:

• Las trasposiciones de la forma (1 i), con i>1.
• El conjunto formado por solo dos generadores:la trasposición σ=(1 2) y el ciclo c=(1 2 ... n).

Clases de conjugación

Recordemos que toda permutación puede ser descrita como producto de ciclos disjuntos, y esta descomposición es única salvo el orden de los factores. Las clases de conjugación de S_n se corresponden con la estructura de dicha descomposición en ciclos: dos permutaciones son conjugadas en S_n si y sólo si se obtienen como composición del mismo número de ciclos disjuntos de las mismas longitudes. Por ejemplo, en S₅, (1 2 3)(4 5) y (1 4 3)(2 5) son conjugados; pero (1 2 3)(4 5) y (1 2)(4 5) no.

El grupo S₃, formado por las 6 permutaciones de tres elementos tiene tres clases de conjugación, listadas con sus números de elementos:

• La identidad (abc → abc) (1)
• Las permutaciones que intercambian dos elementos (abc → acb, abc → bac, abc → cba) (3)
• Las permutaciones cíclicas de los 3 elementos (abc → bca, abc → cab) (2)

El grupo S₄, consistente en las 24 permutaciones de 4 elementos tiene 5 clases de conjugación:

• La identidad (1)
• Las permutaciones que intercambian dos elementos (6)
• Las permutaciones que intercambian cíclicamente tres elementos (8)
• Las permutaciones cíclicas de los cuatro elementos (6)
• Las permutaciones que intercambian dos elementos entre sí, y también los dos restantes (3)

En general, cada clase de conjugación en S_n se corresponderá con una partición entera de n y podrá ser representada gráficamente por un diagrama de Young. Así, por ejemplo, las cinco particiones de 4 se corresponderían con las cinco clases de conjugación listadas anteriormente:

1. 1 + 1 + 1 + 1
2. 2 + 1 + 1
3. 3 + 1
4. 4
5. 2 + 2

Representaciones del grupo

Si asociamos a cada permutación su matriz permutación obtenemos una representación que en general no es irreducible.^[3]​

Representaciones irreducibles