En matemática, una función zeta p-ádica, o más generalmente, una función L p-ádica, es una función análoga a la función zeta de Riemann, o a las más generales funciones L, pero cuyo dominio y su codominio son p-ádicos (donde p es un número primo). Por ejemplo, el dominio podría ser los enteros p-ádicos Z_p, un p-grupo profinito, o una familia p-ádica de representaciones de Galois, y la imagen podría ser los números p-ádicos Q_p o su clausura algebraica.

La fuente de una función L p-ádica tiende a ser una entre dos tipos. La primera fuente —por la cual Tomio Kubota y Heinrich-Wolfgang Leopoldt dieron la primera construcción de una función L p-ádica (Kubota y Leopoldt, 1964)—es por medio de la interpolación p-ádica de valores especiales de las funciones L. Por ejemplo , Kubota–Leopoldt usaron las congruencias de Kummer para los números de Bernoulli para construir una función L p-ádica, la función zeta p-ádica ζ_p(s), cuyos valores en números enteros negativos impares son aquellos de la función zeta de Riemann para los números negativos enteros impares (junto a un factor de corrección explícito). Las funciones L p-ádicas que surgen de esta manera son comúnmente referenciadas como funciones L p-ádicas analíticas. La otra mayor fuente de funciones L p-ádicas—descubiertas inicialmente por Kenkichi Iwasawa—provienen de la aritmética de los cuerpos ciclotómicos, o más generalmente, de ciertos módulos de Galois sobre torres de cuerpos ciclotómicos o de torres más generales. Una función L p-ádica que surge de esta manera es típicamente llamada función L p-ádica aritmética ya que codifica los datos aritméticos del módulo de Galois involucrado. La conjetura principal de la teoría de Iwasawa (ahora convertida en teorema gracias a Barry Mazur y Andrew Wiles) es una declaración de que la función L p-ádica de Kubota–Leopoldt y un análogo aritmético construido mediante la teoría de Iwasawa son esencialmente lo mismo. En situaciones más generales donde ambas (analítica y aritmética) funciones L p-ádicas son construidas (o se espera), la declaración de que es así se denota como la conjetura principal de Iwasawa para aquella situación. Tales conjeturas representan declaraciones formales concernientes a la filosofía que los valores especiales de funciones L contienen información aritmética.

La función L de Dirichlet viene dada por la continuación analítica

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n}{\frac {\chi (n)}{n^{s))}=\prod _{p{\text{ primo))}{\frac {1}{1-\chi (p)p^{-s))))$

La función L de Dirichlet en enteros negativos viene dada mediante

${\displaystyle L(1-n,\chi )=-{\frac {B_{n,\chi )){n))}$

donde B_n,χ es un número de Bernoulli generalizado definido por

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\chi }{\frac {t^{n)){n!))=\sum _{a=1}^{f}{\frac {\chi (a)te^{at)){e^{ft}-1))}$

para χ un carácter de Dirichlet con conductor f.

La función L p-ádica de Kubota–Leopoldt L_p(s, χ) interpola la función L de Dirichlet con el factor de Euler en p eliminado. Concretamente, L_p(s,χ) es la única función continua del número p-ádico tal que

${\displaystyle \displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=(1-\chi (p)p^{n-1})L(1-n,\chi )}$

para los enteros positivos n divisibles por p−1. El miembro de la derecha es precisamente la función L de Dirichlet ordinaria, con la excepción de que el factor de Euler ha sido eliminado en p, de otra manera, esta no podría ser p-ádicamente continua. La continuidad del miembro de la derecha está íntimamente relacionada con las congruencias de Kummer.

Cuando n no es divisible por p−1 entonces esto no se cumple usualmente; en su lugar

${\displaystyle \displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=(1-\chi \omega ^{-n}(p)p^{n-1})L(1-n,\chi \omega ^{-n})}$

para enteros positivos n. Aquí χ está ramificado por una potencia del carácter de Teichmuller ω.

Las funciones L p-ádicas pueden también ser pensadas como medidas p-ádicas (o distribuciones p-ádica) sobre grupos de Galois p-profinitos. La traslación entre este punto de vista y el punto de vista original de Kubota–Leopoldt (como funciones Q_p-valuadas sobre Z_p) es por medio de la transformada de Mazur–Mellin (y de la teoría de cuerpos de clases).

Deligne y Ribet (1980), desarrolló, sobre el trabajo previo de Serre (1973), la construcción analítica de las funciones L p-ádicas para cuerpos totalmente reales. Independientemente,Barsky (1978) y Cassou-Noguès (1979) hicieron lo mismo, pero sus aproximaciones seguían de la aproximación de Takuro Shintani al estudio de los valores L.

• Barsky, Daniel (1978), «Fonctions zeta p-adiques d'une classe de rayon des corps de nombres totalement réels», en Amice, Y.; Barskey, D.; Robba, P., eds., Groupe d'Etude d'Analyse Ultramétrique (5e année: 1977/78) 16, Paris: Secrétariat Math., ISBN 978-2-85926-266-2, MR 525346 .
• Cassou-Noguès, Pierrette (1979), «Valeurs aux entiers négatifs des fonctions zêta et fonctions zêta p-adiques», Inventiones Mathematicae 51 (1): 29-59, ISSN 0020-9910, MR 524276, doi:10.1007/BF01389911 .
• Coates, John (1989), «On p-adic L-functions», Astérisque (177): 33-59, ISSN 0303-1179, MR 1040567 .
• Colmez, Pierre (2004), Fontaine's rings and p-adic L-functions, archivado desde el original el 11 de marzo de 2012, consultado el 8 de enero de 2012 .
• Deligne, Pierre; Ribet, Kenneth A. (1980), «Values of abelian L-functions at negative integers over totally real fields», Inventiones Mathematicae 59 (3): 227-286, ISSN 0020-9910, MR 579702, doi:10.1007/BF01453237 .
• Iwasawa, Kenkichi (1969), «On p-adic L-functions», Annals of Mathematics. Second Series (Annals of Mathematics) 89 (1): 198-205, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970817, MR 0269627, doi:10.2307/1970817 .
• Iwasawa, Kenkichi (1972), Lectures on p-adic L-functions, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08112-0, MR 0360526 .
• Katz, Nicholas M. (1975), «p-adic L-functions via moduli of elliptic curves», Algebraic geometry, Proc. Sympos. Pure Math., 29, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 479-506, MR 0432649 .
• Koblitz, Neal (1984), p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Graduate Texts in Mathematics, vol. 58, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96017-3, MR 754003 .
• Kubota, Tomio; Leopoldt, Heinrich-Wolfgang (1964), «Eine p-adische Theorie der Zetawerte. I. Einführung der p-adischen Dirichletschen L-Funktionen», Journal für die reine und angewandte Mathematik, 214/215: 328-339, ISSN 0075-4102, MR 0163900 . (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
• Serre, Jean-Pierre (1973), «Formes modulaires et fonctions zêta p-adiques», en Kuyk, Willem; Serre, Jean-Pierre, eds., Modular functions of one variable, III (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, 1972), Lecture Notes in Math 350, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 191-268, ISBN 978-3-540-06483-1, MR 0404145, doi:10.1007/978-3-540-37802-0_4 .