Espacio bornológico
En matemáticas, particularmente en análisis funcional, un espacio bornológico es un tipo de espacio que, en cierto sentido, posee la cantidad mínima de estructura necesaria para abordar cuestiones de acotación de conjuntos y aplicaciones lineales, de la misma manera que un espacio topológico posee la cantidad mínima de estructura necesaria para abordar cuestiones sobre continuidad. Los espacios bornológicos se distinguen por la propiedad de que una aplicación lineal desde un espacio bornológico a cualquier espacio localmente convexo es continua si y solo si es un operador lineal acotado.
Los espacios bornológicos fueron estudiados por primera vez por George Mackey, y el nombre fue acuñado por Bourbaki en referencia a la palabra francesa "borné", con el significado de acotado.
Bornologías y aplicaciones acotadas
[editar]Una bornología en un conjunto es una colección de subconjuntos de que satisfacen todas las condiciones siguientes:
- recubre , es decir, ;
- es estable bajo inclusiones; es decir, si y entonces ;
- es estable bajo uniones finitas; es decir, si entonces ;
Los elementos de la colección se denominan - o simplemente conjuntos acotados si se sobrentiende la existencia de .[1] El par se denomina estructura acotada o conjunto bornológico.[1]
Una base o sistema fundamental de una bornología es un subconjunto de tal que cada elemento de es un subconjunto de algún elemento de Dada una colección de subconjuntos de la bornología más pequeña que contiene se denomina bornología generada por [2]
Si e son conjuntos bornológicos, entonces su producto de la bornología en es la bornología que tiene como base la colección de todos los conjuntos con la forma donde y [2] Un subconjunto de está acotado en la bornología del producto si y solo si su imagen bajo las proyecciones canónicas sobre e están acotadas.
Aplicaciones acotadas
[editar]Si e son conjuntos bornológicos, entonces se dice que una función es una aplicación localmente acotada o una aplicación acotada' (con respecto a estas bornologías) si asigna subconjuntos acotados de a subconjuntos acotados de es decir, si [2] Si además es una biyección y también está acotado, entonces se denomina isomorfismo bornológico.
Bornologías vectoriales
[editar]Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo donde tiene una bornología Una bornología en se denomina bornología vectorial en si es estable ante la suma de vectores, la multiplicación escalar y la formación de envolventes equilibradas (es decir, si la suma de dos conjuntos acotados está acotada, etc.).
Si es un espacio vectorial topológico (EVT) y es una bornología en entonces, las siguientes expresiones son equivalentes:
- es una bornología vectorial.
- Las sumas finitas y las envolventes equilibradas de conjuntos acotados por están acotadas por .[2]
- La aplicación multiplicación escalar definida por y la aplicación suma definida por están acotadas cuando sus dominios portan sus bornologías de producto (es decir, asignan subconjuntos acotados a subconjuntos acotados).[2]
Una bornología vectorial se llama bornología vectorial convexa si es estable bajo la formación de envolventes convexas (es decir, la envolvente convexa de un conjunto acotado está acotada), entonces Y una bornología vectorial se llama separada si el único subespacio vectorial acotado de es el espacio trivial de dimensión 0
Generalmente, son los números reales o los complejos, en cuyo caso una bornología vectorial sobre se llamará bornología vectorial convexa si tiene una base que consta de conjuntos convexos.
Subconjuntos bornívoros
[editar]Un subconjunto de se llama bornívoro y un bornívoro si es absorbente respecto a cada conjunto acotado.
En una bornología vectorial, es bornívoro si absorbe todos los conjuntos equilibrados acotados y en una bornología vectorial convexa, es bornívoro si absorbe todos los discos acotados.
Dos topologías EVT en el mismo espacio vectorial tienen los mismos subconjuntos acotados si y solo si tienen los mismos bornívoros.[3]
Cada subconjunto bornívoro de un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo es un entorno del origen.[4]
Convergencia de Mackey
[editar]Se dice que una secuencia en un EVT es convergente de Mackey a si existe una secuencia de números reales positivos que divergen a de modo que converge a en [5]
Bornología de un espacio vectorial topológico
[editar]Cada espacio vectorial topológico al menos en un cuerpo valorado no discreto da una bornología en al definir un subconjunto como acotado (o acotado de von-Neumann), si y solo si para todos los conjuntos abiertos que contienen el cero existe un con Si es un espacio vectorial topológico localmente convexo, entonces está acotado si y solo si todas las seminormas continuas en están acotadas en
El conjunto de todos los subconjuntos acotados de un espacio vectorial topológico se llama la bornología o la bornología de von Neumann de
Si es un espacio localmente convexo, entonces un disco absorbente en es bornívoro (respectivamente, infrabornívoro) si y solo si su funcional de Minkowski está localmente acotado (respectivamente, infraacotado).[4]
Topología inducida
[editar]Si es una bornología vectorial convexa en un espacio vectorial entonces la colección de todos los subconjuntos convexos equilibrados de que son bornívoros forma una base de entornos en el origen de una topología localmente convexa en llamada topología inducida por .[4]
Si es un EVT, entonces el espacio bornológico asociado con es el espacio vectorial dotado de la topología localmente convexa inducida por la bornología de von Neumann de [4].
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Espacios cuasi bornológicos
[editar]Los espacios cuasi bornológicos fueron introducidos por S. Iyahen en 1968.[6]
Un espacio vectorial topológico (EVT) con un espacio dual se denomina espacio cuasi bornológico[6] si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- Cada operador lineal acotado desde hacia otro EVT es continuo.[6]
- Todo operador lineal acotado desde hacia un EVT metrizable completo es continuo.[6][7]
- Cada nudo en una cuerda bornívora es un entorno del origen.[6]
Todo EVT pseudometrizable es cuasi bornológico.[6] Un EVT en el que cada conjunto bornívoro es un entorno del origen es un espacio cuasi bornológico.[8] Si es un EVT cuasi bornológico, entonces la topología localmente convexa más fina en que es más gruesa que convierte a en un espacio bornológico localmente convexo.
Espacio bornológico
[editar]En análisis funcional, un espacio localmente convexo es un espacio bornológico si su topología puede recuperarse de su bornología de forma natural.
Todo espacio cuasi bornológico localmente convexo es bornológico, pero existen espacios bornológicos que no son cuasi bornológicos.[6]
Un espacio vectorial topológico (EVT) con un espacio dual se denomina espacio bornológico si es localmente convexo y se cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
- Todo conjunto convexo, equilibrado y bornívoro en es un entorno de cero.[4]
- Cada operador lineal acotado desde hacia un EVT localmente convexo es continuo.[4]
- Recuérdese que un aplicación lineal está acotada si y solo si asigna cualquier sucesión que converja a en el dominio a un subconjunto acotado del codominio.[4] En particular, cualquier aplicación lineal que sea secuencialmente continua en el origen está acotada.
- Todo operador lineal acotado desde hacia un espacio seminormado es continuo.[4]
- Todo operador lineal acotado desde hacia un espacio de Banach es continuo.[4]
Si es un espacio localmente convexo de Hausdorff, entonces se puede agregar a esta lista:[7]
- La topología localmente convexa inducida por la bornología de von Neumann en es la misma que la topología dada de .
- Todo espacio seminormado acotado en es continuo.[4]
- Cualquier otra topología de un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff en que tenga la misma bornología (de von Neumann) que es necesariamente más gruesa que
- es el límite inductivo de espacios normados.[4]
- es el límite inductivo de los espacios normados ya que varía sobre los discos cerrados y acotados de (o como varía sobre los discos acotados de ).[4]
- porta la topología de Mackey y todas las funciones lineales acotadas en son continuas.[4]
-
tiene las dos propiedades siguientes:
- es secuencial convexo o secuencial C, lo que significa que cada subconjunto convexo secuencialmente abierto de es abierto.
- es bornológico secuencialmente o bornológico S, lo que significa que cada subconjunto convexo y bornívoro de es secuencialmente abierto.
Todo operador lineal secuencialmente continuo desde un espacio bornológico localmente convexo hacia un EVT localmente convexo es continuo,[4] donde debe recordarse que un operador lineal es secuencialmente continuo si y solo si es secuencialmente continuo en el origen. Así, para aplicaciones lineales desde un espacio bornológico a un espacio localmente convexo, la continuidad es equivalente a la continuidad secuencial en el origen. De manera más general, se tiene el enunciado siguiente:
- Cualquier aplicación lineal desde un espacio bornológico localmente convexo a un espacio localmente convexo que haga corresponder sucesiones nulas en a subconjuntos acotados de es necesariamente continuo.
Condiciones suficientes
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Como consecuencia del teorema de Mackey-Ulam, "a todos los efectos prácticos, el producto de espacios bornológicos es bornológico."[9]
Los siguientes espacios vectoriales topológicos son todos bornológicos:
- Cualquier EVT pseudometrizable localmente convexo es bornológico.[4][10]
- Por tanto, cada espacio vectorial normado y cada espacio de Fréchet es bornológico.
- Cualquier límite inductivo estricto de espacios bornológicos, en particular cualquier espacio LF estricto, es bornológico.
- Esto demuestra que existen espacios bornológicos que no son metrizables.
- Un producto numerable de espacios bornológicos localmente convexos es bornológico.[11][10]
- Los cocientes de espacios bornológicos localmente convexos de Hausdorff son bornológicos.[10]
- La suma directa y el límite inductivo de los espacios bornológicos localmente convexos de Hausdorff son bornológicos.[10]
- Los espacios de Fréchet y de Montel tienen duales fuertes bornológicos.
- El dual fuerte de cada espacio de Fréchet reflexivo es bornológico.[12]
- Si el dual fuerte de un espacio localmente convexo metrizable es separable, entonces es bornológico.[12]
- Un subespacio vectorial de un espacio bornológico localmente convexo de Hausdorff que tiene codimensión finita en es bornológico.[4][10]
- La topología localmente convexa más fina en un espacio vectorial es bornológica.[4]
- Contraejemplos
Existe un espacio LB bornológico cuyo bidual fuerte es no bornológico.[13]
Un subespacio vectorial cerrado de un espacio bornológico localmente convexo no es necesariamente bornológico.[4][14] Existe un subespacio vectorial cerrado de un espacio bornológico localmente convexo que es completo (y por lo tanto, secuencialmente completo) pero no es barrilado ni es bornológico.[4]
Los espacios bornológicos no necesitan ser barrilados y los espacios barrilados no necesitan ser bornológicos.[4] Debido a que todo espacio ultrabornológico localmente convexo es barrilado,[4] se deduce que un espacio bornológico no es necesariamente ultrabornológico.
Propiedades
[editar]- El espacio dual fuerte de un espacio bornológico localmente convexo es completo.[4]
- Todo espacio bornológico localmente convexo es infrabarrilado.[4]
- Cada EVT bornológico secuencialmente completo de Hausdorff es ultrabornológico.[4]
- Así, todo espacio bornológico completo de Hausdorff es ultrabornológico.
- En particular, todo espacio de Fréchet es ultrabornológico.[4]
- El producto finito de espacios ultrabornológicos localmente convexos es ultrabornológico.[4]
- Todo espacio bornológico de Hausdorff es cuasi barrilado.[15]
- Dado un espacio bornológico con espacio dual la topología de coincide con la topología de Mackey
- En particular, los espacios bornológicos son espacios de Mackey.
- Cada espacio bornológico casi completo (es decir, todos los subconjuntos cerrados y acotados están completos) es barrilado. Existen, sin embargo, espacios bornológicos que no están cerrados.
- Todo espacio bornológico es el límite inductivo de los espacios normados (y de los espacios de Banach si el espacio también es casi completo).
-
Sea un espacio localmente convexo metrizable con su dual continuo. Entonces, los siguientes enunciados son equivalentes:
- es bornológico.
- es cuasi barrilado.
- es barrilado.
- es un espacio distinguido.
- Si es una aplicación lineal entre espacios localmente convexos y si es bornológico, entonces las expresiones siguientes son equivalentes:
- es continua.
- es secuencialmente continua.[4]
- Por cada conjunto que está acotado en está acotada.
- Si es una sucesión nula en , entonces es una sucesión nula en
- Si es una sucesión nula convergente de Mackey en , entonces es un subconjunto acotado de
- Supóngase que e son EVTs localmente convexos y que el espacio de aplicaciones lineales continuas está dotado de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de Si es un espacio bornológico y si es completo, entonces es un EVT completo.[4]
- En particular, el dual fuerte de un espacio bornológico localmente convexo es completo.[4] Sin embargo, no es necesario que sea bornológico.
- Subconjuntos
- En un espacio bornológico localmente convexo, cada conjunto bornívoro convexo es un entorno de (no se requiere que sea un disco).[4]
- Cada subconjunto bornívoro de un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo es un entorno del origen.[4]
- Los subespacios vectoriales cerrados del espacio bornológico no necesitan ser bornológicos.[4]
Espacios ultrabornológicos
[editar]Un disco en un espacio vectorial topológico se llama infrabornívoro si absorbe todos los discos de Banach.
Si es localmente convexo y de Hausdorff, entonces un disco es infrabornívoro si y solo si absorbe todos los discos compactos.
Un espacio localmente convexo se denomina ultrabornológico si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- Cada disco infrabornívoro es una entorno del origen.
- es el límite inductivo de los espacios , ya que varía en todos los discos compactos en
- Una seminorma en que está limitada en cada disco de Banach es necesariamente continua.
- Para cada espacio localmente convexo y cada aplicación lineal si está acotado en cada disco de Banach, entonces es continua.
- Para cada espacio de Banach y cada aplicación lineal si está acotada en cada disco de Banach, entonces es continua.
Propiedades
[editar]El producto finito de espacios ultrabornológicos es ultrabornológico. Los límites inductivos de los espacios ultrabornológicos son ultrabornológicos.
Véase también
[editar]- Bornología
- Conjunto bornívoro
- Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)
- Espacio localmente convexo
- Espacio de aplicaciones lineales
- Espacio vectorial topológico
- Bornología vectorial
Referencias
[editar]- ↑ a b Narici y Beckenstein, 2011, p. 168.
- ↑ a b c d e Narici y Beckenstein, 2011, pp. 156–175.
- ↑ Wilansky, 2013, p. 50.
- ↑ a b c d e f g h i j k l m n ñ o p q r s t u v w x y z aa ab ac ad ae af Narici y Beckenstein, 2011, pp. 441–457.
- ↑ Swartz, 1992, pp. 15–16.
- ↑ a b c d e f g Narici y Beckenstein, 2011, pp. 453–454.
- ↑ a b Adasch, Ernst y Keim, 1978, pp. 60–61.
- ↑ Wilansky, 2013, p. 48.
- ↑ a b Narici y Beckenstein, 2011, p. 450.
- ↑ a b c d e Adasch, Ernst y Keim, 1978, pp. 60–65.
- ↑ Narici y Beckenstein, 2011, p. 453.
- ↑ a b Schaefer y Wolff, 1999, p. 144.
- ↑ Khaleelulla, 1982, pp. 28–63.
- ↑ Schaefer y Wolff, 1999, pp. 103–110.
- ↑ Adasch, Ernst y Keim, 1978, pp. 70–73.
Bibliografía
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