${\displaystyle (x_{P},y_{P})}$

${\displaystyle y-y_{P}=m(x-x_{P})}$

El problema se reduce a encontrar la pendiente m tal que la recta resultante sea perpendicular al radio que pasa por P. Una vez obtenida la pendiente ${\displaystyle m_{R))$ de la recta ${\displaystyle {\overline {OR))}$, la pendiente buscada será ${\displaystyle m=-1/m_{R))$.

Las coordenadas del centro O de la circunferencia son ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$. Por tanto

${\displaystyle m_{R}={\frac {y_{P}-\beta }{x_{P}-\alpha ))}$, y ${\displaystyle m=-{\frac {x_{P}-\alpha }{y_{P}-\beta ))}$

luego

${\displaystyle y-y_{P}=-{\frac {x_{P}-\alpha }{y_{P}-\beta ))(x-x_{P})}$

reordenando términos:

${\displaystyle (x_{P}-\alpha )(x-x_{P})+(y-y_{P})(y_{P}-\beta )=0}$

(1)${\displaystyle (x_{P}-\alpha )x+(y_{P}-\beta )y=x_{P}^{2}+y_{P}^{2}-\alpha x_{P}-\beta y_{P))$

dado que el punto P pertenece a la circunferencia, satisface su ecuación, luego ${\displaystyle x_{P}^{2}+y_{P}^{2}-\alpha x_{P}-\beta y_{P}=\alpha x_{P}+\beta y_{P}-\gamma }$

sustituyendo en (1)

(2)${\displaystyle (x_{P}-\alpha )x+(y_{P}-\beta )y=\alpha x_{P}+\beta y_{P}-\gamma }$