En álgebra lineal, una base dual o base biortogonal es un conjunto de vectores que forman una base para el espacio dual de un espacio vectorial. Para un espacio vectorial V de dimensiones finitas, el espacio dual V* es isomorfo a V y para cualquier conjunto dado de vectores base {e₁, …, e_n} de V, hay asociada una base dual {e¹,...,eⁿ} de V* con la relación

${\displaystyle ((\mathbf {e} }^{*))^{i}\cdot ((\mathbf {e} }_{j))=\left\((\begin{matrix}1{\text{,))&{\text{si ))i=j\\0{\text{,))&{\text{si ))i\neq j\\\end{matrix))\right.}$

Concretamente, podemos escribir vectores en un espacio vectorial V de n dimensiones como una matriz de columna de n × 1 dimensiones y los elementos del espacio dual V* como matrices de fila de 1 × n que actúan como funcionales lineales por medio de la multiplicación matricial a la izquierda.

También se usa la delta de Kronecker como nomenclatura para la definición anterior como sigue

${\displaystyle ((\mathbf {e} }^{*i))\cdot ((\mathbf {e} }_{j))=\delta _{j}^{i))$ (también notada como ${\displaystyle \delta _{ij))$)

Y en muchos textos de álgebra lineal también es común representar el producto punto o interno de dos vectores únicamente encerrando en un paréntesis el segundo vector como sigue

${\displaystyle ((\mathbf {e} }^{*i))\left(((\mathbf {e} }_{j))\right)=\delta _{j}^{i))$

Así como asumir que son vectores sin usar negritas, debido ya sea a que están en un producto punto o a que no tienen subíndices o superíndices como sigue:

${\displaystyle ((e}^{*i))\left(((e}_{j))\right)=\delta _{j}^{i))$

Para el caso de un espacio tridimensional, teniendo una base dada e, se puede encontrar la base biortogonal (dual) por medio de estas fórmulas:

${\displaystyle e_{1}^{*}={\frac {\left[e_{2};e_{3}\right]}{\left(e_{1};e_{2};e_{3}\right))),e_{2}^{*}={\frac {\left[e_{1};e_{3}\right]}{\left(e_{1};e_{2};e_{3}\right))),e_{3}^{*}={\frac {\left[e_{1};e_{2}\right]}{\left(e_{1};e_{2};e_{3}\right)))}$

Cuyo uso se aclara mejor con el siguiente ejemplo.

Encontrar la base dual para un espacio en R³ cuyas bases están dadas por:

${\displaystyle {\begin{matrix}((\mathbf {e} }_{1))=\left[{\begin{matrix}5\\-2\\6\\\end{matrix))\right]&((\mathbf {e} }_{2))=\left[{\begin{matrix}-3\\-1\\-4\\\end{matrix))\right]&((\mathbf {e} }_{3))=\left[{\begin{matrix}9\\-5\\7\\\end{matrix))\right]\\\end{matrix))}$

Calculamos la base dual para su espacio dual

${\displaystyle ((\mathbf {e} }^{*1))={\frac {\left|\left[{\begin{matrix}((x}_{1))&-3&9\\((x}_{2))&-1&-5\\((x}_{3))&-4&7\\\end{matrix))\right]\right|}{\left|\left[{\begin{matrix}5&-3&9\\-2&-1&-5\\6&-4&7\\\end{matrix))\right]\right|))={\frac {-27}{39))((x}_{1))+{\frac {-15}{39))((x}_{2))+{\frac {24}{39))((x}_{3))=\left({\frac {-27}{39)){\text{, )){\frac {-15}{39)){\text{, )){\frac {24}{39))\right)}$

${\displaystyle ((\mathbf {e} }^{*2))={\frac {\left|\left[{\begin{matrix}5&((x}_{1))&9\\-2&((x}_{2))&-5\\6&((x}_{3))&7\\\end{matrix))\right]\right|}{\left|\left[{\begin{matrix}5&-3&9\\-2&-1&-5\\6&-4&7\\\end{matrix))\right]\right|))={\frac {-16}{39))((x}_{1))+{\frac {-19}{39))((x}_{2))+{\frac {7}{39))((x}_{3))=\left({\frac {-16}{39)){\text{, )){\frac {-19}{39)){\text{, )){\frac {7}{39))\right)}$

${\displaystyle ((\mathbf {e} }^{*3))={\frac {\left|\left[{\begin{matrix}5&-3&((x}_{1))\\-2&-1&((x}_{2))\\6&-4&((x}_{3))\\\end{matrix))\right]\right|}{\left|\left[{\begin{matrix}5&-3&9\\-2&-1&-5\\6&-4&7\\\end{matrix))\right]\right|))={\frac {14}{39))((x}_{1))+{\frac {2}{39))((x}_{2))+{\frac {-11}{39))((x}_{3))=\left({\frac {14}{39)){\text{, )){\frac {2}{39)){\text{, )){\frac {-11}{39))\right)}$

para comprobar que nuestro resultado está bien, usamos la condición

${\displaystyle ((\mathbf {e} }^{*))^{i}\cdot ((\mathbf {e} }_{j))=\left\((\begin{matrix}1{\text{,))&{\text{si ))i=j\\0{\text{,))&{\text{si ))i\neq j\\\end{matrix))\right.}$

que es equivalente en este caso a

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}((e}^{*))_{1}^{1}&((e}^{*))_{2}^{1}&((e}^{*))_{3}^{1}\\((e}^{*))_{1}^{2}&((e}^{*))_{2}^{2}&((e}^{*))_{3}^{2}\\((e}^{*))_{1}^{3}&((e}^{*))_{2}^{3}&((e}^{*))_{3}^{3}\\\end{matrix))\right]\left[{\begin{matrix}e_{1}^{1}&e_{2}^{1}&e_{3}^{1}\\e_{1}^{2}&e_{2}^{2}&e_{3}^{2}\\e_{1}^{3}&e_{2}^{3}&e_{3}^{3}\\\end{matrix))\right]=\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix))\right]}$

al sustituir se obtiene

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}{-27}/{39}\;&{-15}/{39}\;&{24}/{39}\;\\{-16}/{39}\;&{-19}/{39}\;&{7}/{39}\;\\{14}/{39}\;&{2}/{39}\;&{-11}/{39}\;\\\end{matrix))\right]\left[{\begin{matrix}5&-3&9\\-2&-1&-5\\6&-4&7\\\end{matrix))\right]=\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix))\right]}$

lo cual demuestra que nuestro procedimiento es correcto

Cada vector v de un espacio vectorial V puede ser expresado únicamente como una combinación lineal de los elementos de la base

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum \limits _{i=1}^{n}(({v}^{i))((\mathbf {e} }_{i))))$

El resultado de aplicar e^*i en v es el siguiente:

${\displaystyle ((\mathbf {e} }^{*i))\cdot \left(\mathbf {v} \right)=((\mathbf {e} }^{*i))\cdot \left(\sum \limits _{k=1}^{n}(({v}^{k))\cdot ((\mathbf {e} }_{k))}\right)=\sum \limits _{k=1}^{n}(({v}^{k))\left(((\mathbf {e} }^{*i))\cdot ((\mathbf {e} }_{k))\right)}=\sum \limits _{k=1}^{n}(({v}^{k))\left(\delta _{k}^{i}\right)))$

Y por eso e^*i es la transformación lineal (proyección) que "extrae" de un vector v la componente ${\displaystyle v^{i))$ de su vector de coordenadas respecto a la base.

Hagamos que F sea un elemento genérico de V^*, es decir una transformación lineal F desde el espacio vectorial V al K. Aplicado a un vector

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum \limits _{i=1}^{n}(({v}^{i))((\mathbf {e} }_{i))))$

Produce la relación:

${\displaystyle F\cdot \mathbf {v} =\sum \limits _{i=1}^{n}(({v}^{i))\left(F\cdot ((\mathbf {e} }_{i))\right)))$

Como se muestra en la fórmula anterior la trasformación F solo actúa sobre los elementos de la base de V. Por otra parte F transforma un vector en un elemento del espacio K, por lo que F es definido como n "números":

${\displaystyle ((f}_{i))=F\cdot ((\mathbf {e} }_{i))}$

En consecuencia, F es obtenida de una combinación lineal de:

${\displaystyle F=\sum \limits _{i=1}^{N}(({f}_{i))((\mathbf {e} }^{*i))))$

En efecto esa es la relación:

${\displaystyle F\cdot \mathbf {v} =\left(\sum \limits _{i=1}^{n}(({f}_{i))((\mathbf {e} }^{*i))}\right)\cdot \mathbf {v} =\sum \limits _{i=1}^{n}(({f}_{i))\left(((\mathbf {e} }^{*i))\cdot \mathbf {v} \right)}=\sum \limits _{i=1}^{n}(({f}_{i))((v}^{*i))))$

Cada transformación lineal F en V^* puede ser expresada únicamente como una combinación lineal de la transformación eⁱ y por eso:

• (e^*1, ..., e^*n) es efectivamente una base de V^*, que es por lo tanto de dimensión n;
• la f_i es el vector de coordenadas de F con respecto a tal base.

• Espacio dual

• Weisstein, Eric W. «DualBasis». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.