En analitiko la teoremo de Rolle asertas, ke se funkcio estas kontinua en kompakta Intervalo ${\displaystyle [a,b]\quad }$, tio estas malfermita kaj limigita, derivebla en ĉiu punkto en la fermita intervalo ${\displaystyle (a,b)\quad }$ kaj ${\displaystyle f(a)=f(b)\quad }$, tiam ekzistas almenaŭ interna punkto en ${\displaystyle (a,b)\quad }$ kies derivaĵo nuliĝas, tio estas ${\displaystyle f'(c)=0\quad }$ (krita punkto).

Formale: Estu ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ Se ${\displaystyle f\quad }$ estas kontinua en ${\displaystyle [a,b]\quad }$, derivebla en ${\displaystyle (a,b)\quad }$ kaj ${\displaystyle f(a)=f(b)\quad }$ tiam ${\displaystyle \exists \ c\in (a,b):f'(c)=0}$

Danke al teoremo de Weierstrass la funkcio en la intervalo ${\displaystyle [a,b]\quad }$ garantias la ekziston de absolutaj maksimumo kaj minimumo (kiuj estos ${\displaystyle M\quad }$ kaj ${\displaystyle m\quad }$). Estas du kazoj:

1. Maksimumo kaj minimumo estas ambaŭ en ekstremoj. Do, ĉar ${\displaystyle f(a)=f(b)\quad }$, ${\displaystyle M=m\quad }$. Tio implikas, ke la funkcio estas konstanta en la intervalo ${\displaystyle [a,b]\quad }$ kaj la derivaĵo estas nula en ĉiuj punktoj ${\displaystyle c\quad }$ de la intervalo ${\displaystyle (a,b)\quad }$.
2. Maksimumo kaj minimumo ne estas en ekstremoj sed ene de la intervalo. Ni supozu, ke la punkto ${\displaystyle c\quad }$ en la malfermita intervalo ${\displaystyle (a,b)\quad }$ estas maksimumo, tio estas ${\displaystyle f(c)=M\quad }$. Laŭ la teoremo de Fermat pri kritaj punktoj la derivaĵo estas nula en la punkto ${\displaystyle c\quad }$.

Ĉi tiu teoremo estus aparta kazo de la teoremo de Lagrange, kiu asertas, ke, sen la hipotezo ${\displaystyle f(a)=f(b)\quad }$, ${\displaystyle \exists \ c\in (a,b)|f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a))}$. Se ${\displaystyle f(a)=f(b)\quad }$, la numeratoro estas nula, do la teoremo de Rolle estas verigita.

La teoremo ne validas se ne estas nur unu el la tri hipotezoj:

1. ${\displaystyle f(x)\quad }$ ne estas kontinua en ${\displaystyle [a,b]\quad }$.
2. ${\displaystyle f(x)\quad }$ ne estasderivebla en ${\displaystyle (a,b)\quad }$.
3. ${\displaystyle f(a)\neq f(b)\quad }$.

Ebla ĝeneraligo de la teoremo de Rolle garantias la ekziston de ne-deriveblaj punktoj, de fleksoj kun vertikala tanĝanto, tio estas punktoj kie la limeso de la pliiga raporto estas infinito.

• Derivaĵo
• Teoremo de Lagrange
• Teoremo de Cauchy

v • d • r Analitiko Infinitezima kalkulo Reela nombro • Vico • Limeso • Kontinua funkcio • Serio Diferenciala kalkulo Derivaĵo • Derivado • Teoremo de Rolle • Teoremo de Lagrange • Teoremo de Cauchy • Regulo de de l'Hôpital • Serio de Taylor • Diferenciebla funkcio • Gradiento • Jakobia • Hesea Integralo Malderivaĵo • Integrado • Integralo de Riemann • Nepropra integralo • Integralo de Lebesgue • Fundamenta teoremo de kalkulo • Obla, kurba kaj surfaca integralo