Το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν ορίζεται από τα τέσσερα μέσα των πλευρών του τετραπλέυρου. Από το θεώρημα τομής του Θαλή, για τα ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν τα μέσα των πλευρών έχουμε ότι

${\displaystyle {\rm {M_{1}M_{2}\parallel A\Gamma ,\quad M_{2}M_{3}\parallel B\Delta ,\quad M_{3}M_{4}\parallel A\Gamma \quad ))}$ και ${\displaystyle \quad {\rm {M_{4}M_{1}\parallel B\Delta ))}$.

Αφού το τετράπλευρο είναι ορθοδιαγώνιο, έχουμε ότι ${\displaystyle {\rm {A\Gamma \perp B\Delta ))}$ και ${\displaystyle {\rm {M_{1}M_{2}\perp M_{2}M_{3))))$. Συνεπώς, το ${\displaystyle {\rm {M_{1}M_{2}M_{3}M_{4))))$ είναι ορθογώνιο.

Το ζητούμενη προκύπτει από την προηγούμενη ιδιότητα ότι το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν είναι ορθογώνιο και συνεπώς οι διαγώνιοι του είναι ίσες.

Όπως αποδείχθηκε παραπάνω τα μέσα των πλευρών ${\displaystyle {\rm {M_{1))))$, ${\displaystyle {\rm {M_{2))))$, ${\displaystyle {\rm {M_{3))))$ και ${\displaystyle {\rm {M_{4))))$ ορίζουν ένα ορθογώνιο. Επομένως, ο κύκλος που παιρνάει από τα σημεία αυτά έχει κέντρο την τομή ${\displaystyle {\rm {O))}$ των διαγωνίων του. Έστω ${\displaystyle {\rm {Z_{1))))$ το ίχνος του ${\displaystyle {\rm {M_{3))))$ στην πλευρά ${\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta ))}$. Τότε η γωνία ${\displaystyle \angle {\rm {M_{1}Z_{1}M_{3))))$ είναι ορθή. Από το θεώρημα του Θαλή, αφού ${\displaystyle \angle {\rm {M_{1}M_{3))))$ είναι η διάμετρος του κύκλου, έχουμε ότι το σημείο ${\displaystyle {\rm {Z_{1))))$ ανήκει στον κύκλο.

Χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στα ορθογώνια τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {ABI))}$, ${\displaystyle {\rm {B\Gamma I))}$, ${\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta I))}$ και ${\displaystyle {\rm {\Delta AI))}$, έχουμε ότι

${\displaystyle \alpha ^{2}=\mathrm {AI} ^{2}+\mathrm {BI} ^{2))$,

${\displaystyle \beta ^{2}=\mathrm {BI} ^{2}+\mathrm {\Gamma I} ^{2))$,

${\displaystyle \gamma ^{2}=\mathrm {\Gamma I} ^{2}+\mathrm {\Delta I} ^{2))$,

${\displaystyle \delta ^{2}=\mathrm {\Delta I} ^{2}+\mathrm {AI} ^{2))$.

Συνδυάζοντας τις παραπάνω, έχουμε ότι

${\displaystyle \alpha ^{2}+\gamma ^{2}=\mathrm {AI} ^{2}+\mathrm {BI} ^{2}+\mathrm {\Gamma I} ^{2}+\mathrm {\Delta I} ^{2))$,

και

${\displaystyle \beta ^{2}+\delta ^{2}=\mathrm {AI} ^{2}+\mathrm {BI} ^{2}+\mathrm {\Gamma I} ^{2}+\mathrm {\Delta I} ^{2))$.

Επομένως, συμπεραίνουμε ότι

${\displaystyle \alpha ^{2}+\gamma ^{2}=\beta ^{2}+\delta ^{2))$.

Έστω ${\displaystyle {\rm {I))}$ η τομή των διαγωνίων του. Το εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδόν των τεσσάρων ορθογωνίων τριγώνων ${\displaystyle \mathrm {ABI} }$, ${\displaystyle \mathrm {B\Gamma I} }$, ${\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta I} }$ και ${\displaystyle \mathrm {\Delta AI} }$, δηλαδή

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {E} &={\frac {1}{2))\cdot \mathrm {AI} \cdot \mathrm {BI} +{\frac {1}{2))\cdot \mathrm {BI} \cdot \mathrm {\Gamma I} +{\frac {1}{2))\cdot \mathrm {\Gamma I} \cdot \mathrm {\Delta I} +{\frac {1}{2))\cdot \mathrm {\Delta I} \cdot \mathrm {AI} \\&={\frac {1}{2))\cdot \left(\mathrm {AI} \cdot (\mathrm {BI} +\mathrm {\Delta I} )+\mathrm {\Gamma I} \cdot (\mathrm {BI} +\mathrm {\Delta I} )\right)\\&={\frac {1}{2))\cdot (\mathrm {AI} +\mathrm {\Gamma I} )\cdot (\mathrm {BI} +\mathrm {\Delta I} )\\&={\frac {1}{2))\cdot \mathrm {A\Gamma } \cdot \mathrm {B\Delta } .\end{aligned))}$