In der Mathematik ist die Whitehead-Mannigfaltigkeit ein Beispiel einer kontrahierbaren 3-Mannigfaltigkeit, die nicht homöomorph zum euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3))$ ist.

J. H. C. Whitehead hatte 1934 einen Beweis der Poincaré-Vermutung veröffentlicht^[1], in dem er zunächst bewiesen haben wollte, dass jede kontrahierbare 3-Mannigfaltigkeit homöomorph zum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3))$ ist, woraus er die Poincaré-Vermutung (jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur ${\displaystyle S^{3))$) erhielt. Im Folgejahr entdeckte er einen Fehler in seinem Beweis und das Beispiel der Whitehead-Mannigfaltigkeit^[2]. Diese ist kontrahierbar, aber nicht einfach zusammenhängend im Unendlichen, womit sie nicht homöomorph zum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3))$ sein kann und seine erste Behauptung widerlegt.

Konstruiere eine Folge ${\displaystyle W_{i))$ von in der 3-Sphäre ${\displaystyle S^{3))$ eingebetteten Volltori wie folgt.

1. Schritt: ${\displaystyle W_{1))$ ist ein unverknoteter Volltorus in ${\displaystyle S^{3))$.

2. Schritt: ${\displaystyle W_{2))$ ist in ${\displaystyle W_{1))$ so eingebettet, dass der Kern von ${\displaystyle W_{2))$ mit dem Meridian von ${\displaystyle W_{1))$ eine Whitehead-Verschlingung bildet.

...

i. Schritt: ${\displaystyle W_{i+1))$ ist in ${\displaystyle W_{i))$ so eingebettet, dass der Kern von ${\displaystyle W_{i+1))$ mit dem Meridian von ${\displaystyle W_{i))$ eine Whitehead-Verschlingung bildet.

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Die Whitehead-Mannigfaltigkeit ist das Komplement der Schnittmenge ${\displaystyle \bigcap _{i\in \mathbb {N} }W_{i))$ in ${\displaystyle S^{3))$, oder äquivalent die Vereinigungsmenge ${\displaystyle \bigcup _{i\in \mathbb {N} }N_{i))$ mit ${\displaystyle N_{i}=S^{3}\setminus W_{i))$.

Die Whitehead-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle W}$ ist kontrahierbar und ${\displaystyle W\times \mathbb {R} \cong \mathbb {R} ^{4))$,

Sie ist nicht einfach zusammenhängend im Unendlichen. Ihre Ein-Punkt-Kompaktifizierung ist der Quotient von ${\displaystyle S^{3))$, wenn alle Punkte aus ${\displaystyle \bigcap _{i\in \mathbb {N} }W_{i))$ miteinander identifiziert werden.

Sie ist die Vereinigung zweier Kopien des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3))$, deren Durchschnitt ebenfalls homöomorph zum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3))$ ist.^[3]

Die Whitehead-Mannigfaltigkeit trägt keine vollständige Riemannsche Metrik positiver Skalarkrümmung.^[4]

1. ↑ J. H. C. Whitehead: Certain theorems about three-dimensional manifolds (I), Quarterly Journal of Mathematics 5, 308–320 (1934)
2. ↑ J. H. C. Whitehead: A certain open manifold whose group is unity, Quarterly Journal of Mathematics 6, 268–279 (1935)
3. ↑ David Gabai: The Whitehead manifold is a union of two Euclidean spaces, Journal of Topology 4, 529–534 (2011)
4. ↑ J. Wang: Contractible 3-manifold and Positive scalar curvature, ArXiv