Als symmetrische (Wahrscheinlichkeits-) Verteilungen bezeichnet man in der Stochastik spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf den reellen Zahlen. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass (im einfachsten Fall) die Wahrscheinlichkeit, einen Wert kleiner als ${\displaystyle -x}$ zu erhalten, immer gleich groß ist wie die Wahrscheinlichkeit, einen Wert größer als ${\displaystyle x}$ zu erhalten. Besitzt eine Zufallsvariable eine symmetrische Verteilung, so nennt man sie auch eine symmetrische Zufallsvariable.

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$ auf ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B))(\mathbb {R} ))}$ heißt symmetrisch (um Null), wenn für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ gilt:

${\displaystyle P((-\infty ,-x])=P([x,+\infty ))}$

Analog heißt eine reellwertige Zufallsvariable symmetrisch (um Null), wenn die Verteilung von ${\displaystyle X}$ mit der Verteilung von ${\displaystyle -X}$ übereinstimmt, es gilt also

${\displaystyle P_{X}=P_{-X))$  bzw.  ${\displaystyle X\,\,{\stackrel {\mathcal {D)){=))\,-X}$.

Allgemeiner heißt ein Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$ auf ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B))(\mathbb {R} ))}$symmetrisch um ${\displaystyle a}$, wenn

${\displaystyle P((-\infty ,a-x])=P([a+x,+\infty ))}$

für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ gilt, ebenso wie eine reellwertige Zufallsvariable symmetrisch um ${\displaystyle a}$ heißt, wenn

${\displaystyle X-a\,\,{\stackrel {\mathcal {D)){=))\,-(X-a)}$

gilt.

• Die Gleichverteilung ist symmetrisch um ihren Erwartungswert.
• Die Normalverteilung ${\displaystyle N(\mu ,\sigma )}$ ist symmetrisch um ihren Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$.
• Nicht symmetrisch, also um keinen Punkt symmetrisch, sind zum Beispiel die Exponentialverteilung oder die Poisson-Verteilung.

Die Symmetrie einer Zufallsvariablen/Verteilung kann auch über ihre Verteilungsfunktion charakterisiert oder definiert werden. Bezeichnet man mit ${\displaystyle F_{-}(x)}$ den linksseitigen Grenzwert an der Stelle ${\displaystyle x}$, so ist die Verteilung bzw. Zufallsvariable genau dann symmetrisch um Null, wenn

${\displaystyle F(-x)+F_{-}(x)=1}$

für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ gilt und genau dann symmetrisch um ${\displaystyle a}$, wenn

${\displaystyle F(a-x)+F_{-}(a+x)=1}$.

Die Symmetrie einer Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich auch direkt über die Wahrscheinlichkeits(dichte)funktionen der Verteilung definieren:

• Ist ${\displaystyle P}$ eine absolutstetige Verteilung, so ist ${\displaystyle P}$ genau dann symmetrisch um ${\displaystyle a}$, wenn die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion achsensymmetrisch bzgl. der Achse ${\displaystyle x=a}$ ist.
• Ist ${\displaystyle P}$ eine diskrete Verteilung auf den reellen Zahlen, so ist ${\displaystyle P}$ genau dann symmetrisch um ${\displaystyle a}$, wenn die Wahrscheinlichkeitsfunktion achsensymmetrisch bzgl. der Achse ${\displaystyle x=a}$ ist.

Das Symmetriezentrum stimmt immer mit einem Median überein, ebenso der Erwartungswert falls dieser existiert. Dies muss aber bei symmetrischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen nicht immer der Fall sein wie die Standard-Cauchy-Verteilung zeigt: Sie ist symmetrisch um Null, ihr Erwartungswert existiert aber nicht.

Allgemein gilt: ist ${\displaystyle X}$ eine um ${\displaystyle a}$ symmetrische Zufallsvariable und existiert ihr ${\displaystyle (2k+1)}$-tes Moment, so ist

${\displaystyle \operatorname {E} ((X-a)^{2k+1})=0}$.

Die charakteristische Funktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist genau dann reellwertig, wenn die Verteilung symmetrisch um Null ist, und dann gilt

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} (\cos(tX))}$.

Des Weiteren ermöglicht der Satz von Pólya die Konstruktion von Funktionen, die stets charakteristische Funktion einer um Null symmetrischen Verteilung sind.

Verteilung	für Parameterwahl	Symmetrisch um	Bemerkung
Diskrete Verteilungen
Bernoulli-Verteilung	${\displaystyle p={\tfrac {1}{2))}$	${\displaystyle a={\tfrac {1}{2))}$	Für ${\displaystyle p\in \{0,1\))$ siehe Dirac-Verteilung auf 0 bzw. 1
Binomialverteilung ${\displaystyle X\sim Bin(n,p)}$	${\displaystyle p={\tfrac {1}{2))}$	${\displaystyle a={\frac {n}{2))}$	Geht für ${\displaystyle p\in \{0,1\))$ in die Dirac-Verteilung auf ${\displaystyle 0}$ bzw. ${\displaystyle n}$ über, Symmetrien siehe dort.
Diskrete Gleichverteilung auf ${\displaystyle \{r,r+1,\dots ,r+n\))$	${\displaystyle r\in \mathbb {R} ,\,k\in \mathbb {N} }$	${\displaystyle a={\frac {2r+n}{2))}$
Rademacher-Verteilung	-	${\displaystyle a=0}$
Zweipunktverteilung auf ${\displaystyle \{c,d\))$	${\displaystyle c,d\in \mathbb {R} ,\,p={\tfrac {1}{2))}$	${\displaystyle a={\frac {c+d}{2))}$	Degenerierter Fall ${\displaystyle p\in \{0,1\))$ siehe Dirac-Verteilung.
Absolutstetige Verteilungen
Normalverteilung	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ,\,\sigma ^{2}>0}$	${\displaystyle a=\mu }$
Stetige Gleichverteilung auf ${\displaystyle [c,d]}$	-	${\displaystyle a={\frac {c+d}{2))}$
Cauchy-Verteilung	${\displaystyle t\in \mathbb {R} ,\,s>0}$	${\displaystyle a=t}$	Typisches Beispiel einer symmetrischen Verteilung ohne Erwartungswert
Studentsche t-Verteilung	${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$	${\displaystyle a=0}$
Betaverteilung auf ${\displaystyle (0,1)}$	${\displaystyle p=q}$	${\displaystyle a={\tfrac {1}{2))}$
Arcsin-Verteilung	-	${\displaystyle a={\tfrac {1}{2))}$
Logistische Verteilung	${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ,\,\beta >0}$	${\displaystyle a=\alpha }$
Stetigsinguläre Verteilungen und degenerierte Verteilungen
Cantor-Verteilung	-	${\displaystyle a={\tfrac {1}{2))}$
Dirac-Verteilung ${\displaystyle \delta _{x))$	${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$	${\displaystyle a=x}$

• Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, S. 38, doi:10.1007/978-3-642-17261-8. 
• Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, S. 244–245, doi:10.1007/978-3-642-45387-8. 
• Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg / Dordrecht / London / New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.