In der Mathematik ist die Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {sl))(2,\mathbb {C} )}$ der Prototyp einer komplexen einfachen Lie-Algebra. Die ${\displaystyle {\mathfrak {sl))(2,\mathbb {C} )}$ ist eine dreidimensionale, komplexe, einfache Lie-Algebra. Durch diese Eigenschaften ist sie als Lie-Algebra bereits eindeutig identifiziert.

Die ${\displaystyle {\mathfrak {sl))(2,\mathbb {C} )}$ ist die dreidimensionale Lie-Algebra der speziellen linearen Gruppe ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )}$. Sie ist über dem komplexen Zahlenkörper ${\displaystyle \mathbb {C} }$ definiert und hat zwei reelle Formen, die Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {su))(2)}$ und die Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {sl))(2,\mathbb {R} )}$.

Die Gruppe ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )}$ spielt insbesondere in der Speziellen Relativitätstheorie eine Rolle, da sie die einfach zusammenhängende Überlagerung der eigentlichen orthochronen Lorentztransformationen ${\displaystyle SO_{0}(3,1)}$ ist.

Wir betrachten den durch die Basis x, y, h aufgespannten Vektorraum ${\displaystyle g=\langle \{x,y,h\}\rangle _{\mathbb {C} ))$. Die ${\displaystyle {\mathfrak {sl))(2,\mathbb {C} )}$ ist dann festgelegt durch folgende Kommutator-Relationen:

${\displaystyle [x,y]=h,\quad [h,x]=2x,\quad [h,y]=-2y}$

Eine häufig verwendete Realisierung erfolgt durch folgende spurlose 2×2-Matrizen:

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix)),\quad y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix)),\quad h={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix))}$

Durch die Definition des Kreuzproduktes in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3))$ und der folgenden Vektoren

${\displaystyle x=(1,\mathrm {i} ,0),\quad y=(-1,\mathrm {i} ,0),\quad h=(0,0,2\mathrm {i} )}$

ergibt sich die gleiche Algebra:

${\displaystyle x\times y=h,\quad h\times x=2x,\quad h\times y=-2y}$

${\displaystyle {\mathfrak {sl))(2,\mathbb {C} )}$ ist eine einfache (insbesondere halbeinfache) Lie-Algebra.

Beweis: Sei ${\displaystyle {\mathfrak {a))}$ ein nichttriviales Ideal in ${\displaystyle {\mathfrak {sl))(2,\mathbb {C} )}$ und sei ${\displaystyle ax+bh+cy\in {\mathfrak {a))\setminus 0}$ mit ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {C} }$. Wenn ${\displaystyle a=c=0}$, dann ${\displaystyle h\in {\mathfrak {a))}$, damit ${\displaystyle 2x=\left[h,x\right]\in {\mathfrak {a))}$ und ${\displaystyle 2y=\left[h,y\right]\in {\mathfrak {a))}$, also ${\displaystyle {\mathfrak {a))={\mathfrak {sl))(2,\mathbb {C} )}$. Also können wir ${\displaystyle a\not =0}$ oder ${\displaystyle c\not =0}$ annehmen, o. B. d. A ${\displaystyle a\not =0}$. Aus ${\displaystyle \left[y,\left[y,ax+bh+cy\right]\right]=\left[y,-ah+2by\right]=-2ay}$ folgt dann ${\displaystyle y\in {\mathfrak {a))}$ und damit auch ${\displaystyle h=\left[x,y\right]\in {\mathfrak {a))}$, also wieder ${\displaystyle {\mathfrak {a))={\mathfrak {sl))(2,\mathbb {C} )}$.

Die Killing-Form von ${\displaystyle {\mathfrak {sl))(2,\mathbb {C} )}$ lässt sich explizit durch die Formel

${\displaystyle B(v,w)=4\,\operatorname {Spur} (vw)}$

berechnen, es ist also

${\displaystyle B(x,x)=B(y,y)=0,\ B(h,h)=8}$

${\displaystyle B(x,y)=4,\ B(x,h)=B(y,h)=0.}$

Eine maximal kompakte Untergruppe der Lie-Gruppe ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )}$ ist ${\displaystyle K=SU(2)}$, ihre Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {k))={\mathfrak {su))(2)}$ wird von ${\displaystyle i(x+y),\ x-y}$ und ${\displaystyle ih}$ aufgespannt.

Eine Cartan-Involution von ${\displaystyle {\mathfrak {sl))(2,\mathbb {C} )}$ ist gegeben durch

${\displaystyle \theta (A)=-{\overline {A))^{T))$.

${\displaystyle {\mathfrak {k))={\mathfrak {su))(2)}$ ist ihr Eigenraum zum Eigenwert ${\displaystyle 1}$. Man erhält die Cartan-Zerlegung

${\displaystyle {\mathfrak {sl))(2,\mathbb {C} )={\mathfrak {k))\oplus {\mathfrak {p))}$,

wobei ${\displaystyle {\mathfrak {p))=\left\{A\in {\mathfrak {sl))(2,\mathbb {C} ):A={\overline {A))^{T}\right\))$ der Eigenraum zum Eigenwert ${\displaystyle -1}$ ist.

Eine Iwasawa-Zerlegung von ${\displaystyle {\mathfrak {sl))(2,\mathbb {C} )}$ ist

${\displaystyle {\mathfrak {sl))(2,\mathbb {C} )={\mathfrak {k))\oplus {\mathfrak {a))\oplus {\mathfrak {n))}$

mit ${\displaystyle {\mathfrak {k))={\mathfrak {su))(2),\ {\mathfrak {a))=\left\((\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&-\lambda \end{pmatrix)):\lambda \in \mathbb {R} \right\},\ {\mathfrak {n))=\left\((\begin{pmatrix}0&n\\0&0\end{pmatrix)):n\in \mathbb {C} \right\))$.

Die ${\displaystyle {\mathfrak {sl))(2,\mathbb {C} )}$ hat zwei reelle Formen: ihre kompakte reelle Form ist ${\displaystyle {\mathfrak {su))(2)}$, ihre spaltbare reelle Form ist ${\displaystyle {\mathfrak {sl))(2,\mathbb {R} )}$.

Eine maximale abelsche Unteralgebra ist

${\displaystyle {\mathfrak {h))_{0}=\left\((\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&-\lambda \end{pmatrix)):\lambda \in \mathbb {C} \right\))$.

${\displaystyle {\mathfrak {h))_{0))$ ist eine Cartan-Unteralgebra.

Jede Cartan-Unteralgebra ${\displaystyle {\mathfrak {h))\subset {\mathfrak {sl))(2,\mathbb {C} )}$ ist zu ${\displaystyle {\mathfrak {h))_{0))$ konjugiert, d. h., sie ist von der Form

${\displaystyle {\mathfrak {h))=g{\mathfrak {h))_{0}g^{-1}:=\left\{ghg^{-1}:h\in {\mathfrak {h))_{0}\right\))$

für ein ${\displaystyle g\in SL(2,\mathbb {C} )}$.

Das Wurzelsystem zu ${\displaystyle {\mathfrak {h))_{0))$ ist

${\displaystyle R=\left\{\alpha _{12}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix)),\ \alpha _{21}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix))\right\))$.

Die dualen Wurzeln sind

${\displaystyle \alpha _{12}^{*}{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&-\lambda \end{pmatrix))=2\lambda ,\ \alpha _{12}^{*}{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&-\lambda \end{pmatrix))=-2\lambda }$.

Die zugehörigen Wurzelräume sind

${\displaystyle {\mathfrak {g))_{\alpha _{12))=\mathbb {C} {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix)),\ {\mathfrak {g))_{\alpha _{21))=\mathbb {C} {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix))}$.

Die Weyl-Gruppe ist die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{2))$.

• Darstellungstheorie der sl(2,C)

• Nicolas Perrin: The Lie Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {sl))_{2))$ PDF
• Abhinav Shrestha: Representations of semisimple Lie algebras PDF