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Simpliziale Homologie.
Simpliziale Homologie
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Die Simpliziale Homologie ist in der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine Methode, die einem beliebigen Simplizialkomplex eine Folge abelscher Gruppen zuordnet. Anschaulich gesprochen zählt sie die Löcher unterschiedlicher Dimension des zugrunde liegenden Raumes.
Ein simplizialer Komplex (oder Simplizialkomplex) ist eine Menge von (durch ihre Eckpunkte eindeutig bestimmten) Simplizes, so dass jede Seitenfläche eines der Simplizes wieder in dieser Menge liegt. Einfache Beispiele sind Polygone und Polyeder. Nach einem Satz der Topologie kann man jede differenzierbare Mannigfaltigkeit triangulieren, also als einen simplizialen Komplex (SK) auffassen.
Wir wollen die Homologiegruppen des Dreiecks (bestehend aus drei 0-Simplizes und den drei sie verbindenden 1-Simplizes, keinem 2-Simplex und keinen höherdimensionalen Simplizes) berechnen.
Nach Definition des Randoperators ist , also:
d. h. alle 0-Ketten sind im Kern.
Für eine 1-Kette ist
.
Daraus erhält man
.
Eine 0-Kette gehört also genau dann zum Bild von , wenn
,
also genau dann, wenn . Daraus folgt
.
Zur Berechnung der ersten Homologiegruppe: Für eine 1-Kette
ist
genau dann, wenn , also
Weil es keine 2-Simplizes gibt, sind Kern und Bild von trivial, . Damit erhalten wir:
Ist der simpliziale Komplex, der das Dreieck mit Inhalt trianguliert. Das heißt der Komplex wie oben, nur zusätzlich mit dem 2-Simplex. Dann ergibt sich .
definiert als die Verknüpfung von mit dem kanonischen Isomorphismus . Man kann zeigen, dass der so definierte Homomorphismus unabhängig von der Wahl der simplizialen Approximation ist.
Stöcker, Ralph; Zieschang, Heiner: Algebraische Topologie. Eine Einführung. 2. Auflage. Mathematische Leitfäden. B. G. Teubner, Stuttgart, 1994. ISBN 3-519-12226-X.
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