For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for
Schnittgerade.
Schnittgerade
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Schnittgerade (rot) zweier Ebenen (grün und blau)
Als Schnittgerade bezeichnet man in der Geometrie eine Gerade, in der sich zwei nicht paralleleEbenen im dreidimensionalen euklidischen Raum schneiden. Eine Gerade im Raum wird üblicherweise durch eine Parameterform einer Geradengleichung beschrieben. Der Weg zu der Geradengleichung der Schnittgerade zweier Ebenen hängt von der Beschreibung der beiden zu schneidenden Ebenen ab. Da es hierfür zwei Standard-Beschreibungen (Normalenform und Parameterform) gibt, gibt es drei Möglichkeiten, die Geradengleichung der Schnittgerade zu bestimmen.
Ist eine der zu schneidenden Ebenen eine Koordinatenebene, so nennt man die Schnittgerade Spurgerade. Besitzen mehrere Ebenen eine gemeinsame Schnittgerade, so spricht man von einem Ebenenbüschel.
Schnitt einer Ebene in Normalenform mit einer Ebene in Parameterform
Damit die Ebenen nicht parallel sind, muss oder sein, denn andernfalls wäre auch ein Normalenvektor von . Gesucht ist nun eine Parameterdarstellung der Schnittgerade
.
Einsetzen der Parameterform in die Normalenform führt zu
.
Ist , dann ergibt ein Auflösen der Gleichung nach dem Parameter und nachfolgendes Einsetzen in die Parameterform
Falls beide Ebenengleichungen in Parameterform vorliegen, berechnet man zunächst für eine der beiden Ebenen die Normalenform und wendet dann das Verfahren aus dem vorigen Abschnitt an. Für eine Ebene mit dem Stützvektor und den Richtungsvektoren und erhält man durch das Kreuzprodukt
einen Normalenvektor und die Ebenengleichung ist dann
.
Um die Parallelität zweier Ebenen in Parameterform zu untersuchen, bestimmt man zunächst mit Hilfe des Kreuzproduktes für eine der Ebenen einen Normalenvektor. Sind die Skalarprodukte dieses Normalenvektors mit den Richtungsvektoren der anderen Ebene jeweils gleich null, so sind die beiden Ebenen parallel.
Damit die Ebenen nicht parallel sind, müssen die beiden Normalenvektoren linear unabhängig sein, das heißt darf nicht Vielfaches von sein. Gesucht ist wieder eine Parameterdarstellung der Schnittgerade
.
Der Richtungsvektor der Schnittgerade ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Normalenvektoren:
.
Einen Stützvektor der Schnittgerade erhält man, indem man die Ebenen und mit der zu ihnen senkrechten Ebene
schneidet. Die Parameter und findet man durch Einsetzen in die Gleichungen der Ebenen und und erhält so
.
Falls beide Normalenvektoren normiert sind (Betrag 1), so sind die Skalarprodukte der Normalenvektoren mit sich selbst = 1, und die Formel vereinfacht sich wie folgt:
Die obige Formel liefert zwar eine Parameterdarstellung der Schnittgerade ohne jegliche Fallunterscheidungen, sie ist allerdings rechenaufwändig. Bei konkret vorgegebenen Ebenengleichungen kann es besser sein, den Gauß-Algorithmus zur Bestimmung einer Parameterdarstellung der Schnittgerade zu verwenden. Für obiges Beispiel ist das lineare Gleichungssystem
zu lösen. 2-mal die erste Gleichung minus 1-mal die zweite Gleichung ergibt das Gleichungssystem in Zeilenstufenform:
Die Unbekannte kann frei gewählt werden: . Nachdem ist liefert ein Einsetzen in die erste Gleichung . Damit erhält man die (etwas andere) Parameterdarstellung der Schnittgerade:
This browser is not supported by Wikiwand :( Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience. Please download and use one of the following browsers:
Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.
X
Get ready for Wikiwand 2.0 🎉! the new version arrives on September 1st! Don't want to wait?
Oh no, there's been an error
Please help us solve this error by emailing us at support@wikiwand.com
Let us know what you've done that caused this error, what browser you're using, and whether you have any special extensions/add-ons installed.
Thank you!