Reeb-Vektorfeld
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In der Mathematik sind Reeb-Vektorfelder (benannt nach Georges Reeb) ein Konzept der Kontaktgeometrie. Eigenschaften von Reeb-Vektorfeldern sind bei der Suche nach periodischen Bahnen nützlich.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sei eine Kontaktform auf einer Mannigfaltigkeit . Das Reeb-Vektorfeld der Kontaktform ist das eindeutig bestimmte Vektorfeld auf , welches die beiden Bedingungen
- für jedes Vektorfeld und jedes
- für jedes
erfüllt.
Der Fluss des Reeb-Vektorfeldes wird als Reeb-Fluss bezeichnet, seine Bahnen als Reeb-Orbiten.
Beispiele
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Für die Standard-Kontaktform auf ist das Reeb-Vektorfeld .
- Für die Standard-Kontaktform auf der 3-Sphäre ist das Reeb-Vektorfeld . Seine Bahnen sind die Fasern der Hopf-Faserung.
- Für die kanonische Kontaktform auf dem Einheits-Kotangentialbündel einer riemannschen Mannigfaltigkeit entspricht das Reeb-Vektorfeld unter dem durch die Metrik gegebenen Isomorphismus dem Vektorfeld des geodätischen Flusses.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- H. Geiges: An introduction to contact topology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 2008
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