Ein punktierter topologischer Raum ist ein Paar (X,x₀), bestehend aus einem topologischen Raum X und einem Punkt x₀ in X (Grundpunkt, Basispunkt, ausgezeichneter Punkt). Eine punktierte (stetige) Abbildung (X,x₀) → (Y,y₀) ist eine stetige Abbildung X → Y, die x₀ auf y₀ abbildet.

Häufig wird der Grundpunkt auch einfach mit einem Stern bezeichnet.

Ist die Inklusion ${\displaystyle \{x_{0}\}\hookrightarrow X}$ eine Kofaserung, so spricht man von einem wohlpunktierten Raum.^[1]

Ein topologischer Raum heißt homogen, wenn je zwei punktierte topologische Räume auf ihm isomorph sind.

Die Kategorie der punktierten topologischen Räume ist isomorph zur Kommakategorie ${\displaystyle \{\star \}\downarrow \operatorname {Top} }$. Sie besitzt Nullobjekte (diejenigen Räume, welche nur aus dem einen Punkt bestehen). Produkte sind die gewöhnlichen Produkte topologischer Räume, Koprodukte sind Ein-Punkt-Vereinigungen, also disjunkte Vereinigungen, bei denen die jeweiligen ausgezeichneten Punkte miteinander identifiziert werden, geschrieben ${\displaystyle X\vee Y}$.

Zwei punktierte Abbildungen

${\displaystyle f,g\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})}$

heißen homotop, wenn es eine stetige Abbildung ${\displaystyle H\colon X\times \left[0,1\right]\to Y}$ mit

${\displaystyle H(x,0)=f(x),H(x,1)=g(x)\ \forall x\in X}$

${\displaystyle H(x_{0},t)=y_{0}\ \forall t\in \left[0,1\right]}$

gibt. Die Menge der Homotopieklassen punktierter Abbildungen wird mit ${\displaystyle \left[X,Y\right]}$ bezeichnet.

1. ↑ Jon P. May: A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, Chicago IL u. a. 1999, ISBN 0-226-51183-9, Abschnitt 8.3.