Die Lagrange-Dichte ${\displaystyle {\mathcal {L))}$ (nach dem Mathematiker Joseph-Louis Lagrange) spielt in der theoretischen Physik eine Rolle bei der Betrachtung von Feldern. Sie beschreibt die Dichte der Lagrange-Funktion ${\displaystyle L}$ in einem Volumenelement. Daher ist die Lagrange-Funktion definiert als das Integral der Lagrange-Dichte über dem betrachteten Volumen:

${\displaystyle L=\int \mathrm {d} ^{3}r{\mathcal {L))=\iiint \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\,{\mathcal {L))\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial t)),{\frac {\partial \phi }{\partial x)),{\frac {\partial \phi }{\partial y)),{\frac {\partial \phi }{\partial z)),t\right)}$

mit dem betrachteten Feld ${\displaystyle \phi (x,y,z,t)}$.

Der eigentliche Zweck der Lagrange-Dichte ist die Beschreibung von Feldern durch Bewegungsgleichungen. So, wie man die Lagrange-Gleichungen zweiter Art aus dem Hamiltonschen Prinzip erhält, kann man die Lagrange-Gleichungen für Felder aus dem Hamiltonschen Prinzip für Felder erhalten (Herleitung). Entsprechend lautet die Bewegungsgleichung:

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial \phi _{i))}-{\frac {\partial }{\partial t)){\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial {\frac {\partial \phi _{i)){\partial t))))-\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{j))}{\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial {\frac {\partial \phi _{i)){\partial x_{j))))}={\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial \phi _{i))}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})))=0}$.

Für eine in einer Dimension schwingende Saite ergibt sich für die Lagrange-Dichte

${\displaystyle {\mathcal {L))={\frac {1}{2))\left[\mu \left({\frac {\partial \phi }{\partial t))\right)^{2}-E\left({\frac {\partial \phi }{\partial x))\right)^{2}\right]}$

In diesem Beispiel bedeuten:

${\displaystyle \phi =\phi (x,t)}$ die Auslenkung eines Punktes der Saite aus der Ruhelage (Feldvariable)

${\displaystyle \mu }$ die lineare Massendichte

${\displaystyle E}$ den Elastizitätsmodul

Mit dieser Lagrange-Dichte ergibt sich

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial \phi ))=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial {\frac {\partial \phi }{\partial t))))=\mu {\frac {\partial \phi }{\partial t))}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial {\frac {\partial \phi }{\partial x))))=-E{\frac {\partial \phi }{\partial x))}$

Damit ergibt sich für die Bewegungsgleichung der schwingenden Saite

${\displaystyle E{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2))}-\mu {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2))}=0}$

Anwendung findet die Beschreibung physikalischer Vorgänge über die Lagrange-Dichte statt über die Lagrange-Funktion vor allem in relativistischen Vorgängen. Hier ist eine kovariante Darstellung der Lagrange-Funktion gewünscht, dann ist die Wirkung über

${\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{4}x\,{\sqrt {-g))\,{\mathcal {L))}$

definiert, wobei ${\displaystyle g}$ die Determinante des metrischen Tensors ist.^[1] Damit ist die Lagrange-Funktion ein Lorentz-Pseudoskalar, also invariant unter Lorentz-Transformationen:

${\displaystyle {\mathcal {L))'(x_{\mu })={\mathcal {L))(x'_{\mu })={\mathcal {L))(x_{\mu })}$ mit ${\displaystyle x'_{\mu }=\Lambda _{\mu \nu }x^{\nu ))$, wobei ${\displaystyle \Lambda _{\mu \nu ))$ der Lorentz-Transformationstensor ist.

• Franz Schwabl: Lagrange-Dichte. In: Ders.: Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II). Springer, Berlin 2005, ISBN 978-3-540-28865-7, S. 281ff.

1. ↑ Clinton L. Lewis: Explicit gauge covariant Euler–Lagrange equation. In: American Journal of Physics. Band 77, 2009, S. 839, doi:10.1119/1.3153503.