Der Kompaktheitssatz von Riesz ist ein Lehrsatz, welcher dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis zuzurechnen ist. Er geht zurück auf den ungarischen Mathematiker Friedrich Riesz und gibt eine Charakterisierung derjenigen normierten ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Vektorräume (${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$), welche endlichdimensional sind.^[1][2]

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:^[1]

Ein normierter Vektorraum ${\displaystyle X}$ ist dann und nur dann endlichdimensional, wenn die abgeschlossene Einheitskugel in ${\displaystyle X}$ ein kompakter topologischer Unterraum ist.

Dabei kann der Satz gleichwertig auch wie folgt formuliert werden:^[2]

Ein normierter Vektorraum ${\displaystyle X}$ ist genau dann von endlicher Dimension, wenn in ${\displaystyle X}$ jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge besitzt.

In der Herleitung des Satzes lässt sich der wesentliche Beweisschritt auf das Lemma von Riesz stützen.^[1]

Zum rieszschen Kompaktheitssatz gibt es die folgende schärfere Version, welche in der Monographie von Lutz Führer zu finden ist:^[3]

Sei ${\displaystyle X}$ ein separierter topologischer Vektorraum über ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Dann sind gleichwertig:

(a) ${\displaystyle X}$ ist endlichdimensional.

(b) ${\displaystyle X}$ ist homöomorph zu einem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;\;(n\in \mathbb {N} _{0})}$.

(c) ${\displaystyle X}$ ist lokalkompakt.

In der Einleitung und im Anhang der Monographie von Jürgen Appell und Martin Väth findet sich eine umfassende Liste von äquivalenten Bedingungen für die „Endlichdimensionalität“ normierter Räume.^[4]

• Jürgen Appell, Martin Väth: Elemente der Funktionalanalysis. Vektorräume, Operatoren und Fixpunktsätze. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-528-03222-7 (MR2371701). 
• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3. 
• Guido Walz [Red.]: Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Band 4. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2002, ISBN 3-8274-0436-3. 

1. ↑ ^{a b c} Appell, Väth: Elemente der Funktionalanalysis. 2005, S. 38–41
2. ↑ ^{a b} Lexikon der Mathematik. Band 4. 2002, S. 424.
3. ↑ Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 116–117.
4. ↑ Jürgen Appell, Martin Väth: Elemente der Funktionalanalysis. Vektorräume, Operatoren und Fixpunktsätze. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-528-03222-7, S. 313–314 (MR2371701).