Kohomologie mit Koeffizienten
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
In der Mathematik ist Kohomologie mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe eine Verallgemeinerung der klassischen Kohomologietheorien.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sei
ein Kettenkomplex und eine abelsche Gruppe. Als Kohomologie mit Koeffizienten in bezeichnet man die Homologie des Kokettenkomplexes
- .
Für erhält man die Kohomologie des Kettenkomplexes.
Für einen topologischen Raum bezeichnet man mit die Kohomologie des singulären Kettenkomplexes mit Koeffizienten in . Für erhält man die singuläre Kohomologie.
Für einen Simplizialkomplex bezeichnet man mit die Kohomologie des simplizialen Kettenkomplexes mit Koeffizienten in . Für erhält man die simpliziale Kohomologie.
Beispiel
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sei der Kettenkomplex
- ,
wobei die mittlere Abbildung und alle anderen Abbildungen konstant seien. Die Homologiegruppen sind
- .
Die Kohomologiegruppen mit Koeffizienten in sind
- .
Die Kohomologiegruppen mit Koeffizienten in sind
- .
Berechnung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Kohomologie mit Koeffizienten kann aus der klassischen Homologie mit Hilfe des universellen Koeffizientensatzes, nach dem
eine kurze exakte Folge ist, berechnet werden.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- A. Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge: Cambridge University Press (ISBN 0-521-79540-0/pbk) 2002.
Text is available under the CC BY-SA 4.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.