Die Kerr-Newman-Metrik (nach Roy Kerr und Ezra Ted Newman) ist eine exakte, asymptotisch flache, stationäre und axialsymmetrische Lösung der Einstein-Gleichungen. Sie beschreibt die Raumzeit und damit auch das Gravitationsfeld von elektrisch geladenen, rotierenden Schwarzen Löchern.

Unter Verwendung des Newman-Penrose-Formalismus und der komplexen Transformation ${\displaystyle r'=r+i\ a\cos \theta }$ kann die Schwarzschild-Metrik in die Kerr-Lösung umgeformt werden. Mit der gleichen Transformation kann aus der Reissner-Nordström-Metrik auch die Kerr-Newman-Lösung hergeleitet werden.^[1][2]

Das Linienelement hat in Boyer-Lindquist-Koordinaten die Form^[3][4]:

${\displaystyle {\mathrm {d} \tau }^{2}=\left({\frac {r_{\rm {s))r-Q^{2)){\Sigma ))-1\right)\mathrm {d} t^{2}\ +}$ ${\displaystyle \ {\frac {\Sigma }{\Delta ))\mathrm {d} r^{2}\ +\ \Sigma \ \mathrm {d} \theta ^{2}\ +\ {\frac {\chi }{\Sigma ))\sin ^{2}\theta \ \mathrm {d} \phi ^{2}\ +\ 2a\ (Q^{2}-r_{\rm {s))r)\ \Sigma ^{-1}\ \sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \phi }$

Wobei hier die Raum-Zeit-Signatur ${\displaystyle \left(+,-,-,-\right)}$ und folgende Abkürzungen benutzt wurden:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &:=r^{2}-r_{\rm {s))r+a^{2}+Q^{2}\\\Sigma &:=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta \\\chi &:=\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta \ \Delta \\a&:=J/M\end{aligned))}$

dabei bezeichnen ${\displaystyle M}$ das Massenäquivalent (inklusive Ladungs- und Rotationsenergie) des zentralen Körpers, ${\displaystyle Q}$ die elektrische Ladung und ${\displaystyle J}$ den Drehimpuls des Schwarzen Loches. Durch Wahl in der Relativitätstheorie üblicher natürlicher Einheiten mit ${\displaystyle G=c=K=1}$ (Gravitationskonstante, Lichtgeschwindigkeit und Coulomb-Konstante) haben Masse ${\displaystyle M}$, elektrische Ladung ${\displaystyle Q}$ und Drehimpulsparameter ${\displaystyle a}$ die gleiche Dimension wie eine Länge.^[5] ${\displaystyle r_{s}=2M}$ ist der Schwarzschild-Radius.

Die irreduzible Masse ${\displaystyle M_{\rm {irr))}$ steht mit dem totalen, auch als die gravitierende Masse bezeichneten Massenäquivalent ${\displaystyle M}$ im Verhältnis^[6]

${\displaystyle M_{\rm {irr))={\frac {1}{2)){\sqrt {2M^{2}-Q^{2}+2M{\sqrt {M^{2}-Q^{2}-a^{2))))}\ \to \ M={\sqrt {\frac {16M_{\rm {irr))^{4}+8M_{\rm {irr))^{2}\ Q^{2}+Q^{4)){16M_{\rm {irr))^{2}-4a^{2))))}$

Da einem statischen und neutralen Objekt, das in Rotation versetzt oder elektrisch aufgeladen werden soll, Energie hinzugefügt werden muss, und diese Energie aufgrund der Äquivalenz von Masse und Energie selbst zu einer Masse äquivalent ist, ist das Massenäquivalent eines rotierenden und/oder geladenen Körpers dementsprechend höher, als wenn dieser sich neutral in Ruhe befindet. Einem schwarzen Loch kann mithilfe des Penrose-Prozesses^[3][7] zwar Energie und damit auch Massenäquivalent entzogen werden, jedoch nicht so viel, dass am Ende weniger als die irreduzible Masse (die eines entsprechenden Schwarzschild-Lochs) übrigbleiben würde.

Die ko- und kontravarianten metrischen Koeffizienten lauten damit

${\displaystyle g_{tt}={\frac {r\ r_{\rm {s))-Q^{2)){\Sigma ))-1\ \to \ g^{tt}=-{\frac {\chi }{\Delta \Sigma ))}$

${\displaystyle g_{rr}={\frac {\Sigma }{\Delta ))\ \to \ g^{rr}={\frac {\Delta }{\Sigma ))\ ,\ \ g_{\theta \theta }=\Sigma \ \to \ g^{\theta \theta }=\Sigma ^{-1))$

${\displaystyle g_{\phi \phi }=\chi \Sigma ^{-1}\sin ^{2}\theta \ \to \ g^{\phi \phi }=\Sigma \csc ^{4}\theta \left(Q^{2}-r\ r_{\rm {s))+\Sigma \right)\left(a^{2}\left(Q^{2}-r\ r_{\rm {s))\right)^{2}+\chi \csc ^{2}\theta (Q^{2}-r\ r_{\rm {s))+\Sigma )\right)^{-1))$

${\displaystyle g_{t\phi }=a\Sigma ^{-1}(Q^{2}-r\ r_{\rm {s)))\sin ^{2}\theta \ \to \ g^{t\phi }=a\Sigma (Q^{2}-r\ r_{\rm {s)))\left(a^{2}\sin ^{2}\theta \ \left(Q^{2}-r\ r_{\rm {s))\right)^{2}+\chi (Q^{2}-r\ r_{\rm {s))+\Sigma )\right)^{-1))$

Im Fall eines elektrisch neutralen Schwarzen Loches ${\displaystyle (Q=0)}$ vereinfacht sich die Kerr-Newman-Metrik zur Kerr-Metrik. Im Fall eines nicht-rotierenden Schwarzen Loches ${\displaystyle (J=0)}$ ergibt sich die Reissner-Nordström-Metrik und für ein neutrales und nicht-rotierendes Objekt ${\displaystyle (Q=J=0)}$ die Schwarzschild-Metrik.

Für den äußeren Ereignishorizont bei ${\displaystyle r_{H}^{+))$ und den inneren, auch Cauchy-Horizont genannt, bei ${\displaystyle r_{H}^{-))$, ergibt sich, indem ${\displaystyle \Delta =0}$ gesetzt und nach ${\displaystyle r}$ aufgelöst wird ein Boyer-Lindquist-Radius von^[4]

${\displaystyle r_{H}^{\pm }=M\pm {\sqrt {M^{2}-a^{2}-Q^{2))))$

und für die innere und äußere Ergosphäre

${\displaystyle r_{E}^{\pm }=M\pm {\sqrt {M^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta -Q^{2))))$

Bei ${\displaystyle a^{2}+Q^{2}\geq M^{2))$ würde sich der Horizont auflösen, und die Metrik dann kein schwarzes Loch mehr beschreiben. Körper mit einem höheren Spin können daher auch nicht zu einem Schwarzen Loch kollabieren ohne vorher Drehimpuls abzugeben und/oder einen Teil ihrer Ladung durch Akkretion entgegengesetzt geladener Materie zu neutralisieren.^[8][9][10]

Mit dem elektromagnetischen Potential^[11][12]

${\displaystyle A_{\mu }=\left(r\ Q\Sigma ^{-1},\ 0,\ 0,-a\ r\ Q\Sigma ^{-1}\sin ^{2}\theta \right)}$

und dem daraus resultierenden Maxwell-Tensor

${\displaystyle F_{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu )){\partial x^{\mu ))}-{\frac {\partial A_{\mu )){\partial x^{\nu ))))$

ergeben sich über

${\displaystyle (({\ddot {x))^{i}=-\Gamma _{jk}^{i}\ ((\dot {x))^{j))\ ((\dot {x))^{k))+q\ {F^{ik))\ ((\dot {x))^{j))}\ {g_{jk))))$

die Bewegungsgleichungen eines geladenen und frei fallenden Testpartikels.^[13][14] Zur Vereinfachung der Formeln werden die dimensionslosen natürlichen Einheiten ${\displaystyle G=M=c=K=1}$ verwendet.

${\displaystyle {\dot {t))\Delta \Sigma =\csc ^{2}\theta \ ({L_{z))(a\ \Delta \sin ^{2}\theta -a\ (a^{2}+r^{2})\sin ^{2}\theta )-q\ Q\ r\ (a^{2}+r^{2})\sin ^{2}\theta +E((a^{2}+r^{2})^{2}\sin ^{2}\theta -a^{2}\Delta \sin ^{4}\theta ))}$

${\displaystyle {\dot {r))\Sigma =\pm \left(((r^{2}+a^{2})\ E-a\ L_{z}-q\ Q\ r)^{2}-\Delta \ (C+r^{2})\right)^{1/2))$

${\displaystyle {\dot {\theta ))\Sigma =\pm \left(C-(a\cos \theta )^{2}-(a\ \sin ^{2}\theta \ E-L_{z})/\sin \theta \right)^{1/2))$

${\displaystyle {\dot {\phi ))\Sigma \ \Delta \ \sin ^{2}\theta =E\ (a\ \sin ^{2}\theta \ (r^{2}+a^{2})-a\ \sin ^{2}\theta \ \Delta )+L_{z}\ (\Delta -a^{2}\ \sin ^{2}\theta )-q\ Q\ r\ a\ \sin ^{2}\theta }$

mit ${\displaystyle E}$ für die spezifische Gesamtenergie (potentiell, kinetisch und Ruheenergie), ${\displaystyle L_{z))$ für den spezifischen axialen Drehimpuls und ${\displaystyle q}$ für die elektrische Ladung pro Masse des Testteilchens. Diese Gleichungen können dazu verwendet werden, um die Bahnen numerisch zu berechnen und zu visualisieren. ${\displaystyle C}$ ist die Carter-Konstante

${\displaystyle C=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}(1-E^{2})+{\frac {L_{z}^{2)){\sin ^{2}\theta ))\right)=a^{2}\ (1-E^{2})\ \sin ^{2}\delta +L_{z}^{2}\ \tan ^{2}\delta }$

mit den kanonischen spezifischen Impulskomponenten^[13]

${\displaystyle p_{\mu }=g_{\mu \nu }{\dot {x))^{\nu }+q\ A_{\mu ))$.

${\displaystyle p_{t}=-E}$, ${\displaystyle p_{\theta }={\dot {\theta ))\ \Sigma }$ ist die poloidale Komponente des Bahndrehimpulses. ${\displaystyle \delta }$ ist der orbitale Inklinationswinkel.

${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }=\left({\dot {\phi ))\ \chi -{\dot {t))a(2r-Q^{2})\right)\Sigma ^{-1}\sin ^{2}\theta }$

ist der axiale Drehimpuls.

${\displaystyle E=|g_{tt}|\ {\dot {t))+|g_{t\phi }|\ {\dot {\phi ))={\sqrt {\frac {\Delta \ \Sigma }{(1-v^{2})\ \chi ))}+\Omega \ L_{z))$

ist die Gesamtenergie des Testpartikels und eine Konstante der Bewegung.

${\displaystyle \Omega =\left|{\frac {g_{t\phi )){g_{\phi \phi ))}\right|={\frac {a\left(2r-Q^{2}\right)}{\chi ))}$

ist die durch Frame-Dragging induzierte Winkelgeschwindigkeit eines lokal drehimpulsfreien Beobachters.

1. ↑ Ezra (Ted) Newman und Tim Adamo: Kerr-Newman metric. Scholarpedia, 9(10):31791
2. ↑ E. T. Newman: Note on the Kerr Spinning-Particle Metric. In: Journal of Mathematical Physics. Band 6, 1965, S. 915–917, doi:10.1063/1.1704350. 
3. ↑ ^{a b} Charles Misner, Kip S. Thorne, John. A. Wheeler: Gravitation (Memento vom 1. Juli 2019 im Internet Archive), S. 877, S. 908. W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0
4. ↑ ^{a b} Sarani Chakraborty: Light deflection due to a charged, rotating body, Seite 4
5. ↑ Alan Myers: Natural System of Units in General Relativity, S. 4
6. ↑ Thibault Damour: Black Holes: Energetics and Thermodynamics, S. 11 ff.
7. ↑ Bhat, Dhurandhar & Dadhich: Energetics of the Kerr-Newman Black Hole by the Penrose Process, S. 94 ff.
8. ↑ Joakim Bolin, Ingemar Bengtsson: The Angular Momentum of Kerr Black Holes (Memento vom 15. Dezember 2017 im Internet Archive), S. 2, S. 10, S. 11.
9. ↑ William Wheaton: Rotation Speed of a Black Hole
10. ↑ Roy Kerr (Crafoord Prize Symposium in Astronomy): Spinning Black Holes. (Youtube, Zeitstempel 36:47)
11. ↑ Brandon Carter: Global structure of the Kerr family of gravitational fields (1968)
12. ↑ Orlando Luongo, Hernando Quevedo: Characterizing repulsive gravity with curvature eigenvalues
13. ↑ ^{a b} Hakan Cebeci et al: Motion of the charged test particles in Kerr-Newman-Taub-NUT spacetime and analytical solutions
14. ↑ Eva Hackmann, Hongxiao Xu: Charged particle motion in Kerr-Newmann space-times, S. 4