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Harmonische Folge .
Die ersten 10 Folgeglieder der harmonischen Folge Die harmonische Folge ist die mathematische Zahlenfolge der Kehrwerte der positiven ganzen Zahlen, also die Folge[ 1]
1
,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
,
⋯
{\displaystyle 1,\;{\frac {1}{2)),\;{\frac {1}{3)),\;{\frac {1}{4)),\;{\frac {1}{5)),\cdots }
mit dem allgemeinen Glied
a
n
=
1
n
n
≥
1
{\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n))\quad n\geq 1}
.Jedes Glied der harmonischen Folge mit
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
ist das harmonische Mittel seiner Nachbarglieder. Die Summation der Folgenglieder ergibt die harmonische Reihe .
Die alternierende harmonische Folge hat das allgemeine Glied[ 2]
a
n
=
(
−
1
)
(
n
+
1
)
n
n
≥
1
{\displaystyle a_{n}={\frac {\left(-1\right)^{(n+1))){n))\quad n\geq 1}
.Für
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
ist die verallgemeinerte harmonische Folge die Folge
(
a
n
)
n
∈
N
=
(
1
n
k
)
n
∈
N
=
(
1
,
1
2
k
,
1
3
k
,
1
4
k
,
1
5
k
,
…
)
{\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left({\frac {1}{n^{k))}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(1,\,{\tfrac {1}{2^{k))},\,{\tfrac {1}{3^{k))},\,{\tfrac {1}{4^{k))},\,{\tfrac {1}{5^{k))},\,\ldots \right)}
Die harmonische Folge konvergiert gegen Null:
lim
n
→
∞
1
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n))=0}
. Die harmonische Folge ist monoton fallend und hat nur strikt positive Folgenglieder.
Das Maximum der Folgenglieder und damit das Supremum ist 1. Das Infimum der Folgenglieder ist 0, welches aber nicht durch die Folge angenommen wird.
↑ Uni Heidelberg : Folgen und Reihen Folge (F3) - abgerufen am 3. Januar 2015.
↑ Uni Heidelberg: Folgen und Reihen Folge (F7) - abgerufen am 3. Januar 2015.
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