System gyfesurynnau

Math	ffrâm gyfeirio
Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia

System sy'n defnyddio un neu fwy o rifau (neu gyfesurynnau) i ddynodi lleoliad pwynt neu elfen geometreg arall yw system gyfesurynnau. Caiff ei defnyddio o fewn mathemateg a daearyddiaeth.

Mae sawl math o systemau gyfesurynnol yn bodoli. Yn ymarferol, mae dewis un system dros system gyfatebol arall yn dibynnu ar ba ddefnydd a wneir ohono. Mae'r erthygl hon yn ymdrin â'r systemau mwyaf cyffredin ac ymarferol.

Mae system cyfesurynnau Cartesaidd yn enghraifft sylfaenol o system gyfesurynnol. Sail y system yw casglaid, wedi'i drefnu, o linellau sy'n berpendicwlar i'w gilydd. Gelwir y fath system yn system iawnonglog (orthogonal) am bod pob pâr o echelinau yn ffurfio ongl 90° i'w gilydd. Cyfesurynnau pwynt yw rhestr o rifau real yn nhrefn yr echelinau.^[1].

Mewn un dimensiwn, y linell rifau (real) yw'r unig echelin. Dewisir y tarddiad yn fympwyol. Cyfesuryn pwynt yw'r pellter (gydag arwydd +/-) o'r pwynt i'r tardd.

Enghraifft dda o gyfesurynnau sawl dimensiwn yw system gyfesurynnol Cartesaidd. Diffinnir hon gan y dewis o echelinau. Mae'r dewis hwn yn fympwyol (ond gweler isod). Gellir creu sawl system fyddai'n disgrifio'r un gofod, ac yn ogystal gellir olrhain perthynnas rhwng y systemau hyn.

• Mewn dau ddimensiwn (plân 2D), diffinnir system Cartesaidd gan ddau echelin, o'r enw'r echelin X ac echelin Y yn gonfensiynnol.
• Mewn tri ddimensiwn (gofod 3D) mae tri plân perpendicwlar yn diffinio tri echelin: X, Y a Z.
• Yn gyffredinol, mewn gofod Ewclidaidd N dimensiwn mae N echelin sy'n iawnonglog.

Cyfesurynnau pwynt ${\displaystyle P}$ yw'r pellteroedd mewn unrhyw uned (gydag arwydd +/-) o'r pwynt i'r echelinau, yn yr un drefn â'r echelinau. Mae cyfesurynnau felly yn rifau real, ac fe ddynodir y rhifau real gan ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Tardd y system yw'r pwynt ble bo'r echelinau'n croesi. Felly cyfesurynnau'r tardd yw (0, 0), neu'r cyfystyr mewn N dimensiwn.

Mae dewis un echelin yn effeithio dewis yr echelin nesaf. Mewn dau ddimensiwn mae'r echelin X yn rhedeg o'r chwith i'r dde (h.y. o'r negyddol at y positif) Felly gellir gosod echelin Y iawnonglog i bwyntio naill ai tuag i fyny neu i lawr. Mae'r dewis i bwyntio i fyny yn diffinio system llaw dde, a dyma'r modd safonol o ddifinio gofod Cartesaidd 2D^[2]. Am yr un rheswm, mae'r gofod tri dimensiwn a ddengys uchod yn system llaw dde gonfensiynnol.

(Am resymau hanesyddol yn ymwneud â thechnoleg gwreiddiol sgriniau, mae'r system gyfesurynnau a ddefnyddir mewn graffeg cyfrifiaduron yn defnyddio echelin X letraws o'r chwith i'r dde, ond echelin Y sy'n pwyntio tuag i lawr.)

Mae'r system cyfesurynnau pegynol yn system gyffredin arall a ddefnyddir yn y plân dau ddimensiwn.

Enwir un pwynt yn begwn. Estynnir llinell o'r pegwn i ffurfio'r echelin begynol. Lleolir pwynt ${\displaystyle P}$ drwy fesur y pellter (gydag arwydd +/-) rhyngddo a'r pegwn, ac ongl wedi mesur yn wrthglocwedd o'r echelin pegynol.

Yn gonfensiynol, mae'r echelin begynol yn llorweddol ac yn ymestyn i'r dde, yn debyg i'r echelin X yn y system Gartesaidd. Dynodir y pellter gan ${\displaystyle r}$ (am radiws), a'r ongl gan naill ai ${\displaystyle \theta }$, ${\displaystyle \phi }$ neu ${\displaystyle t}$: cyfesurynnau pegynol ${\displaystyle P}$ felly yw ${\displaystyle (r,\,\theta )}$. Mesurir yr ongl mewn graddau neu radianau (neu "rheiddbwyntiau"). Defnyddir onlgau ym myd mordwyo a thirfesur; mae radianau yn fwy cyffredin ym mathemateg a ffiseg er defnyddir onglau yma hefyd.

Yn y deiagram, O yw'r tardd, a 'r linell ddu drwy OL yw'r echelin begynol.

Yn ôl y disgrifiad, mae modd cynrychioli pwynt mewn amryw o ffyrdd:

${\displaystyle P=(r,\theta )\,=\,(r,\theta \pm 2n\pi )\,=\,(-r,\theta \pm (2n+1)\pi )}$

am bob rhif cyfan ${\displaystyle n}$. Os oes angen cynrychioliad diamwys, mae'n arferol cyfyngu'r radiws i ${\displaystyle r\geq 0}$ a'r ongl i'r ystod ${\displaystyle [0,360)}$ gradd neu ${\displaystyle [-\pi ,\pi )}$ radian.

Mae cyfesurynnau silindraidd yn estyn cyfesurynnau pegynol i dri dimensiwn drwy ychwanegu echelin Z, sy'n debyg i echelin Z system Gartesiadd. Mewn system llaw dde, mae'r echelin yn pwyntio tuag i fyny tra bo'r echelin begynol yn lletraws.

Diffinnir pwynt gan dri cyfesuryn ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$, sef

• y pellter ${\displaystyle r}$ neu ${\displaystyle \rho }$ ar hyd y radiws o'r echelin Z at y pwynt
• yr ongl asimwth ${\displaystyle \theta }$ neu ${\displaystyle \phi }$ (h.y. yr ongl yn y plân sy'n normal i'r echelin Z ac sy'n cynnwys yr echelin begynol)
• yr uchder ${\displaystyle z}$ o blân yr echelin begynol

Yn y deiagram, O yw'r tardd, a'r linell drwy OA yw'r echelin begynol. Mae'r echelin Z yn pasio drwy OL

Er mwyn cyfeirio at bwynt yn ddiamwys, mae'n arferol cyfyngu'r radiws i ${\displaystyle r\geq 0}$ a'r ongl i'r ystod ${\displaystyle [0,360)}$ gradd neu ${\displaystyle [-\pi ,\pi )}$ radian. Ni chyfyngir yr uchder (h.y. mae ${\displaystyle z}$ yn yr ystod ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$.

Mae cyfesurynnau sfferigol yn estyn cyfesurynnau pegynol i dri dimensiwn drwy ychwanegu ail echelin yn iawnochrog i'r un wreiddiol. Felly, enwir un echelin yn echelin asimwth a'r llall yn echelin begynol.

Diffinnir pwynt gan dri cyfesuryn ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$, sef:

• y pellter ${\displaystyle r}$ neu ${\displaystyle \rho }$ o'r pegwn (sy'n diffinio arwyneb sffêr o'r un radiws)
• yr ongl asimwth ${\displaystyle \theta }$, debyg i gyfesurynnau silindraidd, a fesurir o'r echelin asimwth
• yr ongl begynol ${\displaystyle \phi }$, a fesurir o'r echelin begynol.

(Confensiwn mathemategol yw'r dynodiad yma: ym myd ffiseg dynodir yr asimwth gan ${\displaystyle \phi }$ a'r ongl begynol gan ${\displaystyle \theta }$. Cedwir at gonfensiwn mathemateg yma.)

Dengys y diagram sut caiff yr onglau eu mesur, sef yr asimwth yn gwrthglocwedd o'r echelin asimwth OX, a'r ongl begynol i lawr o'r echelin begynol OZ.

Mae'r system yma yn gyfarwydd ym myd daearyddiaeth a mapiau. Yn fras, lleolir pwynt ar wyneb y ddaear gan onlgau lledred a hydred, sy'n cyfateb i'r onglau asimwth a phegynol yn y system sfferigol. Mae'r hafaliadau ${\displaystyle \theta =0,\,r=a}$ yn diffinio cylch nawnlin (meridian); mae ${\displaystyle \phi ={\tfrac {\pi }{2)),\,r=a}$ yn diffinio cylch cyhydedd. Wrth gwrs, nid sffêr berffaith mo'r ddaear, ac fe ddefnyddir amcangyfrifiadau i gynrychioli pwyntiau "go iawn". Ceir mwy ar y testun isod.

Soniwyd uchod nad oes cynrychioliad unigryw o ofod geometrig, h.y. gellir cynrychioli'r un gofod drwy ddwy system wahanol o gyfesurynnau. Mae dulliau trawsnewid ymysg systemau yn galluogi rhywun i fynegi pwynt (neu elfen geometrig)

• mewn dwy system debyg, e.e. dwy system Gartesaidd dau ddimensiwn,
• mewn systemau gwahanol, e.e. system Gartesaidd a phegynol,

drwy ddefnyddio fformwlâu cyfnewid. Gellir olrhain y fformwlâu yn unionsyth o'r diffiniadau uchod.

Defnyddir nodiant fector a matrics yn y canlynol.

Pan ysgrifennwyd cyfesurynnau pwynt ${\displaystyle P=(x,y,z)}$ yn flaenorol, rhagdybiwyd bod tair echelin iawnochrog yn bodoli. Gellir ail-ysgrifennu'r cyfesurynnau felly yn nhermau fectorau uned sy'n dynodi cyfeiriad yr echelinau. Yn gonfensiynnol, dynodir y fectorau ar hyd echelinau X, Y a Z gan ${\displaystyle \mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} }$.

Yna mae'r fector

${\displaystyle \mathbf {p} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }$

yn y sytem yma.

Gelwir y triawd ${\displaystyle \{\mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} \))$ yn sylfaen (basis) i'r system gyfesurynnau. Felly, pe bai dwy system betryalog o'r un dimensiwn yn rhannu tardd, gellir dangos bod y broses o drawsnewid systemau yn gyfystyr â thrawsnewid sylfeini ^[3].

Ond pe bai'r ddwy dardd yn wahanol, mae angen ychwanegu trawsfudiad o un tardd i'r llall. Felly gellir newid system gyfesurynnau petryalog drwy'r trawsnewidiadau elfennol canlynol, sydd yn enghraifft o drawsnewidiad affiniol (affine transform) ^[4]. Y trawsnewidiadau yw:

• trawsfudiad, sy'n symud pwynt drwy rhyw faint benodedig yng ngyfeiriad X ac Y

mewn dau ddimensiwn, ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix))\to {\begin{pmatrix}x+t_{x}\\y+t_{y}\end{pmatrix))}$

• cylchdroad, sy'n troi pwynt drwy rhyw ongl benodedig o amgylch y tardd. Mae cylchdroad wrthglocwedd drwy ${\displaystyle \theta }$ yn dilyn

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix))\to {\begin{pmatrix}x\cos \theta -y\sin \theta \\y\sin \theta +x\cos \theta \end{pmatrix))}$

• newid graddfa yng ngyfeiriadau X ac Y

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix))\to {\begin{pmatrix}xs_{x}\\ys_{y}\end{pmatrix))}$

Gellir cynrychioli pob trawsnewidiad o'r math yma gan fatrics. Drwy ategu cyfesurun atodiadol at bwynt dau ddimensiwn, gellir creu trawsfudiad o un tardd i'r llall. Dyma enghraifft o symud o system ${\displaystyle A}$ i system ${\displaystyle B}$. Drwy wneud y diffiniadau canlynnol, gellir cyfrifo matrics trawsneewid drwy luosi cadwyn o fatricsau elfennol.

• symud o dardd ${\displaystyle A=(x_{a},y_{a})}$ i dardd cyffredin:

${\displaystyle T_{A}={\begin{pmatrix}1&&0&&-x_{a}\\0&&1&&-y_{b}\\0&&0&&1\end{pmatrix))}$

• newid graddfa ${\displaystyle S}$ fel y ddangoswyd uchod, gyda

${\displaystyle s_{i}={\frac ((\text{uned yn system ))B}((\text{uned yn system ))A))}$ ar y ddau echelin

• cylchdroad ${\displaystyle R}$ drwy'r ongl rhwng echelin X system ${\displaystyle A}$ ac echelin X system ${\displaystyle B}$, fel y ddangoswyd uchod
• symud o'r tardd cyffredin i dardd ${\displaystyle B=(x_{b},y_{b})}$:

${\displaystyle T_{B}={\begin{pmatrix}1&&0&&x_{b}\\0&&1&&y_{b}\\0&&0&&1\end{pmatrix))}$

Ceir y matrics terfynol drwy lluosi y rhain:

${\displaystyle M_{AB}=T_{B}SRT_{A))$

Dengys y tabl y berthynas rhwng systemau petryalog a systemau pegynol.

• Cyfesurynnau map
• Geometreg gyfesurynnol
• Cyfesurynnau Cartesaidd petrualog (Rectangular Cartesian Co-ordinates)
• Rhif cyd-drefnol (Co-ordination number)