${\displaystyle \sigma }$-algebra (sigma-algebra, též ${\displaystyle \sigma }$-těleso) je v matematice libovolný neprázdný systém množin, který je uzavřený na spočetné sjednocení a na rozdíl dvou prvků a obsahuje sjednocení všech svých prvků. Prefix ${\displaystyle \sigma }$ v názvu vyjadřuje uzavřenost na spočetné sjednocení.

V teorii míry se ${\displaystyle \sigma }$-algebra nazývá měřitelný prostor.

Měřitelná množina je každá množina ze systému množin tvořících ${\displaystyle \sigma }$-algebru (tj. každý prvek ${\displaystyle {\mathcal {A))}$ v níže uvedené definici).

Uspořádanou dvojici ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A)))}$, kde ${\displaystyle \Omega }$ je libovolná množina a ${\displaystyle {\mathcal {A))\subseteq {\mathcal {P))(\Omega )}$ je nějaký systém jejích podmnožin, nazveme ${\displaystyle \sigma }$-algebrou, jestliže ${\displaystyle {\mathcal {A))}$ obsahuje prázdnou množinu a je uzavřený na spočetné sjednocení a doplněk, tj.

1. ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {A))}$
2. jestliže ${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(M_{n}\in {\mathcal {A)))}$, pak ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }M_{n}\in {\mathcal {A))}$
3. jestliže ${\displaystyle M\in {\mathcal {A))}$, pak ${\displaystyle \Omega \setminus M\in {\mathcal {A))}$

• ${\displaystyle \sigma }$-algebra obsahuje sjednocení všech svých prvků: ${\displaystyle \left(\bigcup _{M\in {\mathcal {A))}M\right)\in {\mathcal {A))}$; dostaneme dosazením prázdné množiny za ${\displaystyle M}$ v poslední části definice
• ${\displaystyle \sigma }$-algebra je uzavřená na spočetný průnik svých prvků: jestliže ${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(A_{n}\in {\mathcal {R)))}$, pak ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R))}$

Koncept ${\displaystyle \sigma }$-algebry je důležitý především v teorii míry, kde se nazývá měřitelný prostor, a v teorii pravděpodobnosti. Míra je libovolná nezáporná množinová funkce, která je ${\displaystyle \sigma }$-aditivní a má na prázdné množině hodnotu 0. Pravděpodobnost je míra, která má na univerzální množině ${\displaystyle \Omega }$ hodnotu 1.

Jestliže ${\displaystyle \Omega }$ je libovolná množina a ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A)))}$ je ${\displaystyle \sigma }$-algebra, pak měřitelná množina je libovolná množina, která patří do ${\displaystyle {\mathcal {A))}$.

• ${\displaystyle \sigma }$-okruh
• Pravděpodobnost