فانکشنە سێگۆشەیییە ھەڵگەڕاوەکان [ ١] ئینگلیزی : Inverse trigonometric functions ) لە بیرکاریدا ، ھەڵگەڕاوەی فانکشنە سێگۆشەییەکانن و بەپێی پێناسەی فانکشنی ھەڵگەڕاوە، مەوداکەیان ژێرکۆمەڵێک لە بواری فانکشنە سەرەکییەکەیە. لەبەر ئەوەی ھیچ یەک لە فانکشنە سێگۆشەیییەکان یەکبەیەک نین، بۆ ئەوەی کە ھەڵگەڕاوەکانیان فانکشن بێت دەبێت سنوورێک بۆ مەوداکەیان دیاری بکرێت.
بۆ ئەوەی بابەتەکە ڕوونتر بکرێتەوە وا دابنێ
y
=
arcsin
(
x
)
{\displaystyle y=\operatorname {arcsin} (x)}
x
=
sin
(
y
)
{\displaystyle x=\operatorname {sin} (y)}
x
=
sin
(
y
)
{\displaystyle x=\operatorname {sin} (y)}
y ی یەکسان بە سیفر، π و ٢π، بە دانانی ھەر یەک لەم سێ بەھای y، بەھای ساین یان x یەکسان دەبێت بە سیفر، واتە فانکشنی ھەڵگەڕاوەی سینوس یا arcsin چەندین شیکاری ھەیە
arcsin
(
0
)
=
0
,
π
,
2
π
{\displaystyle \operatorname {arcsin} (0)=0,\pi ,2\pi }
ناو
ھێما
پێناسە
ماوەی x
مەودای فانکشن ڕادیان )
مەودای فانکشنپلە )
ئاڕک ساین y = arcsin x x = sin y ١ ≥ x ≥ ١−
−
π
2
≤
y
≤
π
2
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2))\leq y\leq {\frac {\pi }{2))}
°٩٠ ≥ y ≥ °٩٠-
ئاڕک کۆساین y = arccos x x = cos y ١ ≥ x ≥ ١−
0
≤
y
≤
π
{\displaystyle 0\leq y\leq \pi }
١٨٠° ≥ y ≥ °٠
ئاڕک تانجێنت y = arctan x x = tan y ھەموو ژمارە ڕاستەقینەکان
−
π
2
≤
y
≤
π
2
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2))\leq y\leq {\frac {\pi }{2))}
°٩٠ ≥ y ≥ °٩٠-
ئاڕک کۆتانجێنت y = arccot x x = cot y ھەموو ژمارە ڕاستەقینەکان
0
≤
y
≤
π
{\displaystyle 0\leq y\leq \pi }
١٨٠° ≥ y ≥ °٠
ئاڕک سێکنت y = arcsec x x = sec y x ≤ −١ یا ١ ≤ x
0
≤
y
≤
π
,
y
≠
π
2
{\displaystyle 0\leq y\leq \pi ,y\neq \;{\frac {\pi }{2))}
١٨٠° ≥ y ≥ °٠ و y≠٩٠°
ئاڕک کۆسێکنت y = arccsc x x = csc y x ≤ −١ یا ١ ≤ x
−
π
2
≤
y
≤
π
2
,
y
≠
0
{\displaystyle {\frac {-\pi }{2))\leq y\leq {\frac {\pi }{2)),y\neq \;0}
°٩٠ ≥ y ≥ °٩٠- و y≠٠°
[ دەستکاری ] وێنەی ڕوونکردنەوەی
arcsin
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arcsin} (x)}
arccos
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arccos} (x)}
ڕووتەختی پۆتاندا . وێنەی ڕوونکردنەوەی
arctan
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arctan} (x)}
arccot
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arccot} (x)}
وێنەی ڕوونکردنەوەی
arcsec
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arcsec} (x)}
arccsc
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arccsc} (x)}
arccos
x
=
π
2
−
arcsin
x
{\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2))-\arcsin x}
arccot
x
=
π
2
−
arctan
x
{\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2))-\arctan x}
arccsc
x
=
π
2
−
arcsec
x
{\displaystyle \operatorname {arccsc} x={\frac {\pi }{2))-\operatorname {arcsec} x}
arcsin
(
−
x
)
=
−
arcsin
x
{\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin x\!}
arccos
(
−
x
)
=
π
−
arccos
x
{\displaystyle \arccos(-x)=\pi -\arccos x\!}
arctan
(
−
x
)
=
−
arctan
x
{\displaystyle \arctan(-x)=-\arctan x\!}
arccot
(
−
x
)
=
π
−
arccot
x
{\displaystyle \operatorname {arccot}(-x)=\pi -\operatorname {arccot} x\!}
arcsec
(
−
x
)
=
π
−
arcsec
x
{\displaystyle \operatorname {arcsec}(-x)=\pi -\operatorname {arcsec} x\!}
arccsc
(
−
x
)
=
−
arccsc
x
{\displaystyle \operatorname {arccsc}(-x)=-\operatorname {arccsc} x\!}
arccos
(
1
/
x
)
=
arcsec
x
{\displaystyle \arccos(1/x)\,=\operatorname {arcsec} x\,}
arcsin
(
1
/
x
)
=
arccsc
x
{\displaystyle \arcsin(1/x)\,=\operatorname {arccsc} x\,}
arctan
(
1
/
x
)
=
1
2
π
−
arctan
x
=
arccot
x
,
if
x
>
0
{\displaystyle \arctan(1/x)={\tfrac {1}{2))\pi -\arctan x=\operatorname {arccot} x,{\text{ if ))x>0\,}
arctan
(
1
/
x
)
=
−
1
2
π
−
arctan
x
=
−
π
+
arccot
x
,
if
x
<
0
{\displaystyle \arctan(1/x)=-{\tfrac {1}{2))\pi -\arctan x=-\pi +\operatorname {arccot} x,{\text{ if ))x<0\,}
arccot
(
1
/
x
)
=
1
2
π
−
arccot
x
=
arctan
x
,
if
x
>
0
{\displaystyle \operatorname {arccot}(1/x)={\tfrac {1}{2))\pi -\operatorname {arccot} x=\arctan x,{\text{ if ))x>0\,}
arccot
(
1
/
x
)
=
3
2
π
−
arccot
x
=
π
+
arctan
x
,
if
x
<
0
{\displaystyle \operatorname {arccot}(1/x)={\tfrac {3}{2))\pi -\operatorname {arccot} x=\pi +\arctan x,{\text{ if ))x<0\,}
arcsec
(
1
/
x
)
=
arccos
x
{\displaystyle \operatorname {arcsec}(1/x)=\arccos x\,}
arccsc
(
1
/
x
)
=
arcsin
x
{\displaystyle \operatorname {arccsc}(1/x)=\arcsin x\,}
[ دەستکاری ]
sin
(
arccos
x
)
=
cos
(
arcsin
x
)
=
1
−
x
2
{\displaystyle \sin(\arccos x)=\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2))))
sin
(
arctan
x
)
=
x
1
+
x
2
{\displaystyle \sin(\arctan x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2))))}
cos
(
arctan
x
)
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle \cos(\arctan x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2))))}
tan
(
arcsin
x
)
=
x
1
−
x
2
{\displaystyle \tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2))))}
tan
(
arccos
x
)
=
1
−
x
2
x
{\displaystyle \tan(\arccos x)={\frac {\sqrt {1-x^{2))}{x))}
[ دەستکاری ]
d
d
x
arcsin
x
=
1
1
−
x
2
d
d
x
arccos
x
=
−
1
1
−
x
2
d
d
x
arctan
x
=
1
1
+
x
2
d
d
x
arccot
x
=
−
1
1
+
x
2
d
d
x
arcsec
x
=
1
x
x
2
−
1
d
d
x
arccsc
x
=
−
1
x
x
2
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx))\arcsin x&{}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))\\{\frac {d}{dx))\arccos x&{}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2))))\\{\frac {d}{dx))\arctan x&{}={\frac {1}{1+x^{2))}\\{\frac {d}{dx))\operatorname {arccot} x&{}={\frac {-1}{1+x^{2))}\\{\frac {d}{dx))\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{x\,{\sqrt {x^{2}-1))))\\{\frac {d}{dx))\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{x\,{\sqrt {x^{2}-1))))\end{aligned))}
بۆ ھەر x ی ڕاستەقینە
d
d
x
arcsec
x
=
1
|
x
|
x
2
−
1
;
|
x
|
>
1
d
d
x
arccsc
x
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
;
|
x
|
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx))\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1))));\qquad |x|>1\\{\frac {d}{dx))\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1))));\qquad |x|>1\end{aligned))}
لە گرتەی سادەدا ئەگەر
θ
=
arcsin
x
{\displaystyle \theta =\arcsin x\!}
d
arcsin
x
d
x
=
d
θ
d
sin
θ
=
1
cos
θ
=
1
1
−
sin
2
θ
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d\arcsin x}{dx))={\frac {d\theta }{d\sin \theta ))={\frac {1}{\cos \theta ))={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta ))}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))}
[ دەستکاری ] ئەم پەیوەندییانە بۆ ھەر x ـەکی ڕاستەقینە و ئاوێتە پاسادانە:
∫
arcsin
x
d
x
=
x
arcsin
x
+
1
−
x
2
+
C
∫
arccos
x
d
x
=
x
arccos
x
−
1
−
x
2
+
C
∫
arctan
x
d
x
=
x
arctan
x
−
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
∫
arccot
x
d
x
=
x
arccot
x
+
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
∫
arcsec
x
d
x
=
x
arcsec
x
−
ln
(
x
(
1
+
x
2
−
1
x
2
)
)
+
C
∫
arccsc
x
d
x
=
x
arccsc
x
+
ln
(
x
(
1
+
x
2
−
1
x
2
)
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2))}+C\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2))}+C\\\int \arctan x\,dx&{}=x\,\arctan x-{\frac {1}{2))\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccot} x+{\frac {1}{2))\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt ((x^{2}-1} \over x^{2))}\right)\right)+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc} x+\ln \left(x\left(1+{\sqrt ((x^{2}-1} \over x^{2))}\right)\right)+C\end{aligned))}
بۆ ھەر x ≥ ۱ لە ژمارە ڕاستەقینەکاندا :
∫
arcsec
x
d
x
=
x
arcsec
x
−
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
+
C
∫
arccsc
x
d
x
=
x
arccsc
x
+
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1))\right)+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc} x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1))\right)+C\end{aligned))}
دەتوانی بە بەکارھێنانی تەواوکاری بە بەشکردن ، ھەژماری ئەم پەیوەندییانە بکەیت.
بە کەلکوەرگرتن لە
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
{\displaystyle \int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u}
u
=
arcsin
x
d
v
=
d
x
d
u
=
d
x
1
−
x
2
v
=
x
{\displaystyle {\begin{aligned}u&{}=&\arcsin x&\quad \quad \mathrm {d} v=\mathrm {d} x\\\mathrm {d} u&{}=&{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2))))&\quad \quad {}v=x\end{aligned))}
ئەوا:
∫
arcsin
(
x
)
d
x
=
x
arcsin
x
−
∫
x
1
−
x
2
d
x
{\displaystyle \int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin x-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2))))\,\mathrm {d} x}
بە گۆڕینی گۆڕەک :
k
=
1
−
x
2
.
{\displaystyle k=1-x^{2}.\,}
لەمەوە دەردەچێت:
d
k
=
−
2
x
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} k=-2x\,\mathrm {d} x}
و
∫
x
1
−
x
2
d
x
=
−
1
2
∫
d
k
k
=
−
k
{\displaystyle \int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2))))\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2))\int {\frac {\mathrm {d} k}{\sqrt {k))}=-{\sqrt {k))}
∫
arcsin
(
x
)
d
x
=
x
arcsin
x
+
1
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2))}+C}
^ فەرھەنگی بیرکاری، نەوزاد عومەر محێدین
