Forma bilineal

Siguin $V\,$ i $W\,$ objectes matemàtics qualsevol, tots dos amb estructura lineal, l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un altre objecte $K$ amb estructura aritmètica. Típicament $V\,$ i $W\,$ són dos $K$ -mòduls, l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un anell $K$ , o dos espais vectorials, igualment l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un cos $K$ . Una forma bilineal $\omega$ és una aplicació

\omega :V\times W\longrightarrow K\,

del producte cartesià dels objectes $V\,$ i $W\,$ a l'objecte $K\,$ que compleix el requeriment de linealitat a les dues components:

$\omega (\lambda x+\mu y,z)=\lambda \omega (x,z)+\mu \omega (y,z)\,,\quad x,y\in V\,,\quad z\in W\,,\quad \lambda ,\mu \in K\,$

$\omega (x,z\lambda +t\mu )=\omega (x,z)\lambda +\omega (x,t)\mu \,,\quad x\in V\,,\quad z,t\in W\,,\quad \lambda ,\mu \in K\,$

Notació

Si $\omega$ és una forma bilineal i $x\in V$ i $y\in W$ , hom sol usar la notació

$\langle x,y\rangle _{\omega }\,$

per expressar el valor $\omega (x,y)\,$ de la forma $\omega \,$ en la parella $(x,y)\,$ , és a dir, $\langle x,y\rangle _{\omega }=\omega (x,y)\,$ i, si en el context no hi ha ambigüitat, hom pot prescindir del símbol que nombra la forma $\omega$ :

$\langle x,y\rangle \,$

Formes bilineals degenerades i no degenerades

Els conjunts

$N_{V}=\left\{x\in V,\forall y\in W,\langle x,y\rangle =0\right\}\,,\quad N_{W}=\left\{y\in W,\forall x\in V,\langle x,y\rangle =0\right\}\,$

són els submòduls nuls (subespais nuls) de la forma bilineal. Si $N_{V}=\{0\}\,$ i $N_{W}=\{0\}\,$ aleshores la forma bilineal es diu no degenerada i degenerada en cas contrari. Si la forma és degenerada i $\pi _{V}:V\longrightarrow V/N_{V}\,$ i $\pi _{W}:W\longrightarrow W/N_{W}\,$ són les respectives projeccions canòniques, la forma bilineal

${\tilde {\omega )):V/N_{V}\times W/N_{W}\longrightarrow K\,$

$\langle \pi _{V}(x),\pi _{W}(y)\rangle =\langle x,y\rangle \,$

és no degenerada.

Formes bilineals simètriques i alternades

Si $V=W\,$ i $K\,$ és commutatiu, té sentit definir com a forma bilineal simètrica aquella que compleix

$\langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle \,$

i com a forma bilineal alternada la que compleix

$\forall x\in V,\quad \langle x,x\rangle =0\in K\,$

Per a una forma bilineal alternada, si $x,y\in V\,$ , tenim

${\begin{aligned}0&=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x+y\rangle +\langle y,x+y\rangle =\\&=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\\&=\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle \end{aligned))\,$

que implica

$\langle x,y\rangle =-\langle y,x\rangle \,$

En canvi, de l'última igualtat no es pot deduir que $\langle x,x\rangle =0\,$ , si no és que la característica de $K\,$ és diferent de 2: la condició $\langle x,x\rangle =0\,$ és, doncs, més restrictiva que la condició $\langle x,y\rangle =-\langle y,x\rangle$ .

Matriu d'una forma bilineal

Si $V\,$ i $W\,$ són mòduls lliures finitament generats, o bé, espais vectorials de dimensió finita i ${\displaystyle {\mathcal {B))_{V}=\left\{v_{1},\ldots v_{m}\right\))$ i ${\displaystyle {\mathcal {B))_{W}=\left\{w_{1},\ldots w_{n}\right\))$ en són bases respectives, una forma bilineal $\omega :V\times V^{\ast }\longrightarrow K\,$ queda determinada pels $m\times n$ valors

$\langle v_{i},w_{j}\rangle _{\omega }\,,\quad i=1,\ldots ,m\,,\quad j=1,\ldots ,n\,$

Si es disposen aquests $m\times n$ valors en una matriu de $n$ files i $m$ columnes,

$M=\left(\langle v_{i},w_{j}\rangle _{\omega }\right)\,,\quad i=1,\ldots ,m\,,\quad j=1,\ldots ,n\,$

aleshores el càlcul de ${\displaystyle \langle v,w\rangle _{\omega ))$ és

$\langle v,w\rangle =w^{T}Mv\,$

on ${\displaystyle w^{T))$ és el transposat de $w$ , és a dir, amb les components escrites en una fila, en lloc de en una columna.

En canvi, si la matriu és de $m$ files i $n$ columnes, és a dir, la matriu transposada de la matriu $M$ , el càlcul és

$\langle v,w\rangle =v^{T}M^{T}w\,$

Exemples

L'àrea d'un paral·lelogram

Sigui ${\displaystyle V_{2))$ l'espai vectorial dels vectors del pla sobre el cos dels nombres reals i sigui ${\mathcal {B))\,$ una base d'aquest espai. L'aplicació que fa correspondre a cada parella de vectors l'àrea del paral·lelogram que determinen, mesurada tot prenent l'àrea del paral·lelogram que determinen els vectors de la base ${\mathcal {B))\,$ com a unitat de mesura és una forma bilineal $V_{2}\times V_{2}\longrightarrow \mathbb {R}$ . Com que, a més, un vector qualsevol i ell mateix determinen un paral·lelogram d'àrea zero, es tracta d'una forma bilineal alternada, que no és altra que el determinant de dos vectors de ${\displaystyle V_{2))$ .

El producte escalar euclidià

El producte escalar en un espai euclidià és una forma bilineal simètrica. En efecte, si escrivim el producte ${\vec {x))\cdot {\vec {y))\,$ en la forma $\langle {\vec {x)),{\vec {y))\rangle \,$ , pròpia de les formes bilineals, les propietats del producte escalar i tenim en compte la commutativitat de $\mathbb {R}$ ,

$(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z\,,\quad x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z\,$

$(\lambda x)\cdot y=x\cdot (\lambda y)=\lambda (x\cdot y)\,$

$x\cdot y=y\cdot z\,$

obtenim

$\langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle \,,\quad \langle x,(y+z)\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle \,$

$\langle \lambda x,y\rangle =\langle x,\lambda y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle \,$

$\langle x,y\rangle =\langle y,z\rangle \,$

i és clar que es tracta d'una forma bilineal simètrica.

Còniques i quàdriques

Una quàdrica o superfície quàdrica és una hipersuperfície definida en un espai vectorial n-dimensional pels punts que anul·len un polinomi quadràtic de n variables:

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{i}P_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{k=1}^{n}Q_{k}x_{k}+R=0\,$

L'estudi i la classificació de cada quàdrica se sol fer a partir de l'estudi de la forma bilineal simètrica de matriu

${\begin{pmatrix}P_{11}&P_{12}/2&\ldots &P_{1n}/2\\P_{21}/2&P_{22}&\ldots &P_{2n}/2\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\P_{n1}/2&P_{n2}/2&\ldots &P_{nn}\end{pmatrix))\,$

obtinguda a partir dels coeficients dels termes de segon grau de l'equació de la quàdrica en estudi.

Mòduls o espais duals

Si $V$ és un $>K$ -mòdul i ${\displaystyle V^{\ast ))$ és el seu mòdul dual, l'aplicació

$\omega :V\times V^{\ast }\longrightarrow K\,$

$\langle x,\varphi \rangle _{\omega }=\langle x,\varphi \rangle \,$

que a la parella $(x,\varphi )$ li fa correspondre el valor $\langle x,\varphi \rangle$ de la forma $\varphi$ en l'element $x\in V$ és òbviament una forma bilineal.

Vegeu també

Estructures lineals duals.
El producte escalar en un espai euclidià.

Categoria

Forma bilineal

Notació

Formes bilineals degenerades i no degenerades

Formes bilineals simètriques i alternades

Matriu d'una forma bilineal

Exemples

L'àrea d'un paral·lelogram

El producte escalar euclidià

Còniques i quàdriques

Mòduls o espais duals

Vegeu també

Suggest as cover photo

Thank you for helping!

Install Wikiwand

Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:

Your preferred languages

All languages

Follow Us

Don't forget to rate us

Our magic isn't perfect

Thank you for helping!

Oh no, there's been an error