U matematici, kvadratna funkcija je polinomalna funkcija oblika ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}$, gdje je ${\displaystyle a\neq 0\,\!}$. Grafik kvadratne funkcije je parabola čija je glavna osa paralelna sa y-osom.

Izraz ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ u definiciji kvadratne funkcije je polinom stepena 2 ili polinom drugog stepena, zato što je najveći stepen od ${\displaystyle x}$ broj 2.

Ako se za kvadratnu funkciju kaže da je jednaka nuli, tada je rezultat kvadratna jednačina. Rješenja ove jednačine nazivaju se korijeni jednačine ili nule funkcije.

Dva korijena kvadratne jednačine ${\displaystyle 0=ax^{2}+bx+c\,\!}$, gdje je ${\displaystyle a\neq 0\,\!}$, su:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac))}{2a)).}$

Ova formula naziva se kvadratna formula.

• Neka je ${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\,}$
• Ako je ${\displaystyle \Delta >0\,\!}$, tada postoje dva različita korijena, pošto je ${\displaystyle {\sqrt {\Delta ))}$ pozitivan realna broj.
• Ako je ${\displaystyle \Delta =0\,\!}$, tada su dva korijena jednaka, pošto je ${\displaystyle {\sqrt {\Delta ))}$ nula.
• Ako je ${\displaystyle \Delta <0\,\!}$, tada su dva korijena konjugovano kompleksni brojevi, pošto je ${\displaystyle {\sqrt {\Delta ))}$ imaginarno.

Ako imamo da je ${\displaystyle r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac))}{2a))}$ i ${\displaystyle r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac))}{2a))}$ (ili obrnuto), ${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!}$ se može napisati kao ${\displaystyle a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!}$.

Bez obzira na oblik, grafik kvadratne funkcije je parabola (kao što je prethodno pokazano).

• Ako je ${\displaystyle a>0\,\!}$, parabola je otvorena prema gore.
• Ako je ${\displaystyle a<0\,\!}$, parabola je otvorena prema dole.

Koeficijent a kontroliše brzinu rasta (ili opadanja) kvadratne funkcije iz tjemena, veći pozitivan broj a čini da funkcija raste brže, te se grafik čini više zatzvorenim.

Koeficijenti b i a zajedno kontrolišu osu simetrije parabole (također i x-koordinatu tjemena parabole).

Koeficijent b je strmost parabole kada ona presjeca y-osu.

Koeficijent c kontroliše visinu parabole, specifičnije, to je tačka gdje parabola presjeca y-osu.

Presjeci grafika sa x-osom su isti kao i korijeni kvadratne funkcije (pogledajte iznad).

Tjeme (ili vrh) parabole je mjesto gdje se ona previja, pa se zbog toga naziva i tačka prevoja. Ako je kvadratna funkcija u svom standardnom obliku, tjeme je ${\displaystyle (h,k)\,\!}$. Metodom potpunog kvadrata, može se opći oblik: ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}$ pretvoirti u

${\displaystyle f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a))\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a)),}$

tako da će tjeme parabole u općem obliku biti

${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a)),-{\frac {\Delta }{4a))\right).}$

Ako je kvadratna funkcija u faktorskom obliku ${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!}$

srednja vrijednost dva korijena

${\displaystyle {\frac {r_{1}+r_{2)){2))\,\!}$

je x-koordinata tjemena, te je tjeme

${\displaystyle \left({\frac {r_{1}+r_{2)){2)),f({\frac {r_{1}+r_{2)){2)))\right).\!}$

Tjeme je, također, tačka kasimuma, ako je ${\displaystyle a<0\,\!}$ ili tačka minumuma, ako je ${\displaystyle a>0\,\!}$.

Vertikalna linija

${\displaystyle x=h=-{\frac {b}{2a))}$

koja prolazi kroz tjeme se naziva osa simetrije parabole.

• Tačke maksimuma i minimuma

Maksimu ili minimum funkcije se uvijek dobijaju u tjemenu. Izjednačavanjem prve derivacije funkcije sa nulom, dobit ćemo koordinate tjemena. Prednost ovog metoda je ta da se može koristiti i za ostale funkcije.

Ako imamo funkciju ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}$ koja je jednostavna kvadratna jednačina. Da bi našli njene tačke maksimuma ili minimuma (koje zavise od ${\displaystyle a\,\!}$, ako je ${\displaystyle a>0\,\!}$, onda ima tačke minimuma, a ako je < 0\,\!</math>, ima tačke maksimuma) moramo prvo naći njenu derivaciju:

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\Leftrightarrow \,\!}$${\displaystyle f'(x)=2ax+b\,\!}$

Tada, tražimo korijene od ${\displaystyle f'(x)\,\!}$:

${\displaystyle 2ax+b=0\Rightarrow \,\!}$ ${\displaystyle 2ax=-b\Rightarrow \,\!}$ ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a))}$

Dakle, ${\displaystyle -{\frac {b}{2a))}$ je ${\displaystyle x\,\!}$ vrijednost od ${\displaystyle f(x)\,\!}$. Sada, da bi našli ${\displaystyle y\,\!}$ vrijednost, zamijenimo ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a))}$ u ${\displaystyle f(x)\,\!}$:

${\displaystyle y=a\left(-{\frac {b}{2a))\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a))\right)+c\Rightarrow y={\frac {ab^{2)){4a^{2))}-{\frac {b^{2)){2a))+c\Rightarrow y={\frac {b^{2)){4a))-{\frac {b^{2)){2a))+c\Rightarrow }$

${\displaystyle y={\frac {b^{2}-2b^{2}+4ac}{4a))\Rightarrow y={\frac {-b^{2}+4ac}{4a))\Rightarrow y=-{\frac {(b^{2}-4ac)}{4a))\Rightarrow y=-{\frac {\Delta }{4a))}$

Odavde, tačke maksimuma ili minimuma su:

${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a)),-{\frac {\Delta }{4a))\right).}$

• Kvadratni oblik
• Kvadratni polinom
• Matrično predstavljanje presjeka konusa
• Kvadratik
• Periodične tačke kompleksnog kvadratnog preslikavanja
• Spisak matematičkih funkcija

• Eric W. Weisstein, Quadratic na MathWorld-u.