For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for
Hipocikloida.
- Hipocikloidu opisuje tačka na kružnici koja se, bez trenja kotrlja sa unutrašnje strane druge kružnice.[1]
- Pretpostavimo da se po unutrašnjosti kružnice poluprečnika a kotrlja bez trenja kružnica poluprecnika b, .
- Neka je koordinatni početak u centru kružnice .
- Kružnicu ćemo postaviti tako da dodiruje kružnicu sa unutrašnje strane u tački presjeka sa x osom.
- Posmatrajmo putanju koju opisuje tačka kada se kružnica ravnomjerno kotrlja u smjeru suprotnom kretanju kazaljke na satu. Pretpostavimo da je poslije vremena t ta tačka prešla u tačku ).
- Uslov da je kotrljanje bez trenja, znaći da je dužina luka kružnice jednaka dužini luka kružnice .
- Odnosno
- Ako se kružnica ravnomjerno kotrlja onda je pređeni put proporcionalan vremenu t. Tj.
- pri ćemu je k brzina kotrljanja.
- Dakle, ako uzmemo da se kružnica kotrlja za a dužnih jedinica u jedinici vremena dobijamo
- pa se ugao može tretirati kao vrijeme.
- Odredimo sada koordinate tačke M u koordinantnom sistemu xy. Koordinate centra kružnice na kojoj se nalazi tačka M su:
- Postavimo koordinatni sistem uv tako da mu koordinatni početak bude u centru te kružnice K, a koordinatne ose paralelne sa x odnosno sa y osom. U tom koordinatnom sistemu koordinate u i v tačke M su :
- Iz
- dobijamo
- [2]
- Neka je cio broj, odnosno , možemo pričati o dužini luka i površini hipocikloide.
- Duzina luka hipocikloide je duzina svodova , tj dužina krive koju opise posmatrana tačka dok ne stigne do početnog polozaja.
- Površina hipocikloide je površina koja je ograničena sa uzastopnim svodovima hipocikloide .
- Duzina luka hipocikloide je , gdje je b poluprečnik kruga koji se kreće po unutrašnjosti nepokretnog kruga poluprečnika a i
- je broj svodova hipocikloide.
- Dokaz
- Dužina luka krive je
- Na osnovu ovoga dobijamo da je dužina luka jednog svoda hipocikloide:
- Površina hipocikloide je
- gdje je b poluprečnik kruga koji se kreće po unutrašnjosti stalnog kruga poluprečnika a i je broj svodova hipocikloide.
- Dokaz
- Koristićemo Grinovu teoremu
- Iz proizlazi
- U slučaju kada je
- jednačine hipocikloide (dijametra) su
- Tačka na kotrljajućem krugu osciluje po prečniku kružnice. Ovo je jedan od najlepših modela koje pokazuje kako pretvoriti kružno kretanje u pravolinijsko i obrnuto.
- Dužina luka te hipocikloide je
- Za dobijamo trouglastu hipocikloidu (deltoidu, Štajnerovu krivu).
- Njene jednačine su
- Deltoida ima zanimljivu osobinu da odsječci njenih tangenti unutar krive imaju konstantnu dužinu tj. jedan stap te dužine bi se mogao rotirati unutar nje stalno je dodirujući.
- Deltoida ima površinu
- Dužina luka je
- Za dobijamo astroidu, sa parametarskim jednačinama:
- Porijeklo imena astroida može se naći u grčkoj riječi (asteri) čije je značenje zvijezda. Ova kriva je ranije nazivana i kubocikloidom i paraciklom.
- Površina astroide je
- Dužina luka je
- Za dobijamo hipocikloidu
- Mali krug poluprečnika b 10 puta treba da obiđe veliki krug poluprečnika a da bi fiksna tačka došla u početni položaj, tj da bi hipocikloida bila zatvorena.
- Za
- Kako je odnos prečnika iracionalan, hipocikloida se nikada neće zatvoriti. Ako bi nastavili kotrljati krug
do beskonačnosti, dobili bi jedan prsten.
- 1725. god. Daniel Bernuli je otkrio osobinu hipocikloide poznatu kao teorema dvostruke generacije.
- Krug poluprečnika b, koji se kreće po unutrašnjosti kruga poluprečnika a, generiše istu hipocikloidu kao i krug poluprečnika krečući se unutar istog kruga.
- Ako označimo prvu hipocikloidu sa a drugu sa
- na osnovu teoreme dobijamo da je
- Ova dva unutrašnja kruga su komplementarna u odnosu na nepokretan krug, tj. zbir njihovih poluprečnika jednak je poluprečniku nepokretnog kruga.
- Zamjenom
- odnosno
- imamo
- zamjenom redoslijeda sabiraka dobijamo
- Ako u drugoj jednačini koristimo poznate trigonometrijske identitete
- i parametra sa dobićemo parametarske jednačine hipocikloide
- , koje su potpuno identicne sa pocetnim jednacinama:
- Posljedica ove teoreme je
- Istu astroidu možemo dobiti i rotacijom kruga poluprečnika
i rotiracijom kruga poluprečnika unutar fiksiranog kruga poluprečnika a.
- Površina hipocikloide je
- (b je poluprečnik kruga koji se kreće po unutrašnjosti nepokretnog kruga poluprečnika a i je broj svodova hipocikloide, odnosno
- K je površina kotrljajuće kružnice. Pomoću hipociklogona možemo dobiti formule, čije su granične vrijednosti ekvivalentni sa ovim rezultatima.
- Neka je hipociklogon generisan sa pravilnim petnaestouglim i kotrljajućim petouglom. Površinu hipociklogona možemo dobiti tako da iz površine m-ugla izvućemo m/n puta površinu koja je ograničena sa m-uglom i jednim svodom hipociklogona. Površina se sastoji od : trouglova, koji zajedno daju površinu kotrljajućeg n-ugla (označena sa M ), i kružnih isječaka.
- je površina k-tog kružnog isječka, a
- za dužine koje spajaju jedno tjeme n-ugla sa ostalim tjemenima
- Kako je ugao kružnog isječka jednak , moramo ga smanjiti za spoljašnji ugao m-ugla, tj.
- gde je R poluprečnik opisane kružnice kotrljajučeg pravilnog n-ugla.
- Posmatrajmo niz hipociklogona generisanih sa n-uglom koji se kotrlja unutar m-ugla upisan u krug poluprečnika a, tako da se odnos broja stranica pravilnih mnogouglova ne mijenja. Označimo ga sa .
- Prvi član niza je ciklogon generisan sa trouglom koji se kotrlja oko 3v-ugla drugi član niza je generisan sa kvadratom koji se kotrlja oko 4v-ugla .
- n-ti član generiše pravilan -ugao koji se kotrlja oko (v-ugla .
- Niz ciklogona je
- , , , ....,
- Stranice n-ugla i m-ugla su jednake dužine pa za svaki član niza vazži da je obim nepokretnog mnogougla v puta veća od kotrljajučeg.
- U graničnom slučaju zbog . To znači da smo dobili dvije kruznice, takve da je obim prve kružnice v puta manji od obima druge kružnice, tj i poluprečnici imaju odnos . Sto možemo napisati ovako:
- gdje je a poluprečnik kružnice opisane oko m-ugla, a b poluprečnik kotrljajuće kružnice : oko pravilnog n-ugla
- ^ Kotrljajući hipocikloid
- ^ Hypocycloid
{{bottomLinkPreText}}
{{bottomLinkText}}
This page is based on a Wikipedia article written by
contributors (read/edit).
Text is available under the
CC BY-SA 4.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.
{{current.index+1}} of {{items.length}}
Thanks for reporting this video!
This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:
An extension you use may be preventing Wikiwand articles from loading properly.
If you're using HTTPS Everywhere or you're unable to access any article on Wikiwand, please consider switching to HTTPS (https://www.wikiwand.com).
An extension you use may be preventing Wikiwand articles from loading properly.
If you are using an Ad-Blocker, it might have mistakenly blocked our content.
You will need to temporarily disable your Ad-blocker to view this page.
✕
This article was just edited, click to reload
Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}
Follow Us
Don't forget to rate us
Oh no, there's been an error
Please help us solve this error by emailing us at
support@wikiwand.com
Let us know what you've done that caused this error, what browser you're using, and whether you have any special extensions/add-ons installed.
Thank you!