إذا كانت${\displaystyle x_{0}=0\,}$ في متسلسلة تايلور، يمكن الحصول على متسلسلة أبسط للنشر بقرب الصفر وهي متسلسلة ماكلورين. سميت السلسلة على اسم عالم الرياضيات الإسكتلندي كولين ماكلورين.^[1]

إذا كانت الدالة الرياضية ${\displaystyle f(x)}$ قابلة للاشتقاق ${\displaystyle n}$ مرة في النقطة ${\displaystyle {x}_{0}\!}$ فإنه يمكن كتابتها كما يلي:^[2]

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{k}(x_{0})}{k!))(x-x_{0})^{k}+R_{n}(x)\!}$

إذا عوضت ${\displaystyle n}$ بلانهاية فإنه يُحصل على متسلسلة لا منتهية هي بذاتها الدالة ${\displaystyle f}$ أي أن الجزء ${\displaystyle R_{n}(x)\!}$ يصير صفرا والمتسلسلة تساوي الدالة في كل النقاط ${\displaystyle x}$:^[2][3]

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{k}(x_{0})}{k!))(x-x_{0})^{k))$

أو

${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!))(x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})}{2!))(x-x_{0})^{2}+\cdots }$

إذا كانت ${\displaystyle x_{0}=0\,}$ في هذه المتسلسلة يمكن الحصول على متسلسلة أبسط للنشر بقرب الصفر وهي متسلسلة ماكلورين:^[4]

${\displaystyle f(x)=f(0)+{\frac {f'(0)}{1!))(x)+{\frac {f''(0)}{2!))(x)^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!))(x)^{3}+\cdots }$

${\displaystyle e^{x}=1+{\frac {x}{1!))+{\frac {x^{2)){2!))+\dots }$

${\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3)){3!))+{\frac {x^{5)){5!))-\dots }$

${\displaystyle \cos(x)=1-{\frac {x^{2)){2!))+{\frac {x^{4)){4!))-\dots }$

${\displaystyle \ln(x+1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1)){n))x^{n}=x-{\frac {x^{2)){2))+{\frac {x^{3)){3))-{\frac {x^{4)){4))+\cdots .}$

${\displaystyle {\cosh x=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n)){\left({2n}\right)!))}={1+{\frac {x^{2)){2!))+{\frac {x^{4)){4!))}+((\frac {x^{6)){6!))+\ldots ))$

${\displaystyle {\sinh x=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1)){\left({2n+1}\right)!))}={x+{\frac {x^{3)){3!))}+{\frac {x^{5)){5!))+((\frac {x^{7)){7!))+\ldots ))$

• متسلسلة تايلور
• متسلسلة (رياضيات)
• كولين ماكلورين

• بوابة تحليل رياضي