Die hyperbolischi Geometrii as Bispil für e niteuklidischi Geometrii bechunnt mä, wenn mä anstatt vom Parallelenaxiom s „hyperbolische Axiom“ animmt. Das sait, ass es zun ere Grade g und eme Punggt P nit wie in der euklidische Geometrii nume genau eini, sondern mindestens zwei Grade (h und i) git, wo dur P göhn und zu g parallel si. Dass zwei Grade „parallel“ zunenander si, bedütet do aber eifach, dass si keini gmeinsame Pünggt hai, nicht dass sie überall dr gliich Abstand hai (h und i hai num ei gmeinsame Punggt P).

Me cha zeige, ass es dur e Punggt unändlig vili Nitschniidendi („Parallele“) zu der Grade git. Zwei drvo si in ere Gränzlag und heisse gränzparallel (au: horoparallel) zur Grade, währed me de rästlige Gradene überparallel (au: hyperparallel) sait.

En einfachs Modäll zum Veraschaulige vo sonere Geometrii isch s Kleinsche-Modäll: D „Ebeni“ isch do en offeni Kreisschiibe („offe“ bedütet, ass der Rand vom Kreis nit zur Ebeni ghört), und d „Geradene“ si Kreisböge, wo sänkrächt uf em Rand stöhn. E Nochdeil vo däm Modäll isch, dass es d Lenge- und Winggelmässig kompliziert macht, wil me e spezielli Distanzfunktion muess bruuche.

Dä Artikel basiert uff ere fräie Übersetzig vum Artikel „Hyperbolische_Geometrie“ vu de dütsche Wikipedia. E Liste vu de Autore un Versione isch do z finde.