En mathématiques, la multiplication par un scalaire est l'une des lois externes de base définissant un espace vectoriel en algèbre linéaire (ou plus généralement, un module en algèbre générale).

Si K est un corps commutatif, la définition d'un espace vectoriel E sur K prescrit l'existence d'une loi de composition externe, une application de K × E dans E. L'image d'un couple (λ, v), pouvant être notée λv ou λ∙v, est la multiplication du vecteur v par le scalaire λ. Comme cas particulier, E peut être pris égal à K lui-même, et la multiplication par un scalaire peut être tout simplement la multiplication du corps. Quand E est égal à Kⁿ, alors la multiplication par un scalaire est usuellement celle définie composante par composante.

Par définition d'un espace vectoriel, la multiplication par un scalaire vérifie les propriétés suivantes :

• La multiplication par 1 ne change pas un vecteur :

${\displaystyle 1v=v}$ ;

• distributivité à droite :

${\displaystyle \forall (\lambda ,\mu )\in K^{2},\quad \forall v\in E,\quad (\lambda +\mu )v=\lambda v+\mu v}$ ;

• distributivité à gauche :

${\displaystyle \forall \lambda \in K,\quad \forall (u,v)\in E^{2},\quad \lambda (u+v)=\lambda u+\lambda v}$ ;

• associativité :

${\displaystyle \forall (\lambda ,\mu )\in K^{2},\quad \forall v\in E,\quad (\lambda \mu )v=\lambda (\mu v)}$ ;

• la multiplication par 0 donne le vecteur nul :

${\displaystyle \forall v\in E,\quad 0v=0_{E))$ ;

• la multiplication par –1 donne l'opposé :

${\displaystyle \forall v\in E,\quad (-1)v=-v.}$

Ici, + représente ou bien l'addition du corps ou celle de l'espace vectoriel comme il convient et 0 est l'élément neutre du corps K, tandis que 0_E est le vecteur nul. La juxtaposition ou le point correspondent à la multiplication par un scalaire ou la multiplication interne du corps.

La multiplication par le scalaire non nul λ définit une application linéaire de E dans E, appelée homothétie de rapport λ. Lorsque E est un espace vectoriel euclidien (avec K = R), alors les homothéties peuvent être interprétées comme des contractions ou des étirements.

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